Question

（11分）如圖所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍.取g為10m/s².

（1）H的大小；
（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由；
（3）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是多少.

Answer 1

（1）10m
（2）小球可以通過O點
（3）17.3m/s

（1）小球從H高處自由落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力為F（大小等于小球對軌道的壓力）提供它做圓周運動的向心力，即 ①（1分）

小球從P點落下一直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒有，②（1分）
由①②解得高度m（1分）
（2）設小球能夠沿豎直軌道運動到O點時的最小速度為v₀，則有③（1分）
小球至少應從H₀高處落下，④（1分）
由③④可得（1分）
由H>H₀，小球可以通過O點. （1分）
（3）小球由H落下通過O點的速度為m/s（1分）
小球通過O點后做平拋運動，設小球經過時間t落到AB圓弧軌道上，
建立圖示的坐標系，有 ⑤（1分）
⑥（1分）且⑦（1分）
落到軌道上速度大小為m/s（1分）