Question

如圖1所示，abcd是位于豎直平面內的正方形閉合金屬線框，其質量為m，電阻為R．在金屬線框的下方有一勻強磁場區域，PQ和P?Q?是該勻強磁場區域的水平邊界，并與線框的bc邊平行，磁場方向與線框平面垂直．現金屬線框由距PQ某一高度處從靜止開始下落，經時間t₀后剛好到達PQ邊緣，速度為v₀，假設線框所受的空氣阻力恒定．圖2是金屬線框由靜止開始下落到完全穿過勻強磁場區域過程中的速度-時間圖象．
試求：（1）金屬線框的邊長；
（2）金屬線框由靜止開始下落到完全穿過勻強磁場區域的總位移；
（3）金屬線框在進入勻強磁場區域過程中流過其橫截面的電荷量；
（4）金屬線框在整個下落過程中所產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）由圖象可知，金屬框進入磁場過程中是做勻速直線運動，運動時間為t₀，根據時間和速度求解線框的邊長；
（2）由圖知，金屬線框完全進入磁場后做勻加速直線運動，穿出磁場時做變減速運動，根據速度圖象的“面積”等于位移求解總位移；
（3）線框進入磁場過程，重力和安培力平衡，推導出安培力可求出B．由法拉第電磁感應定律、歐姆定律可求得感應電流I，即可由q=It求電量．
（3）全過程運用動能定理求出熱量．

解答：解：（1）由圖象知，金屬框進入磁場過程中做勻速直線運動，運動時間為t₀，則線框的邊長為 l=v₀t₀．
（2）由v-t圖象得：線框進入磁場前：s₁=0.5v₀t₀
線框進入磁場過程：s₂=v₀t₀
線框在磁場內勻加速運動：s₃=

1

2

×（v₀+1.8v₀）×0.8t₀=1.12v₀t₀
線框穿出磁場和進入磁場位移相等：s₄=s₂=v₀t₀
所以：總位移為 s_總=s₁+s₂+s₃+s₄=3.62v₀t₀
（3）線框剛進入磁場時作勻速運動，則有：F_安+f=mg
即

B2l2v0

R

+f=mg；
l=v₀t₀
線框進入磁場前作勻加速運動：mg-f=ma=m

v0

t0

聯立解得：B=

mRt0

v0t02

在進入勻強磁場區域過程中流過線框橫截面的電荷量：q=It=

Bl v0

R

t0=

v0 mRt0

R

（4）全過程用動能定理，得：(mg-f)s總-Q=

1

2

m(1.3v0)2-0
解得 Q=2.775mv02
答：
（1）金屬線框的邊長是v₀t₀．；
（2）金屬線框由靜止開始下落到完全穿過勻強磁場區域的總位移是3.62v₀t₀；
（3）金屬線框在進入勻強磁場區域過程中流過其橫截面的電荷量是

v0 mRt0

R

；
（4）金屬線框在整個下落過程中所產生的焦耳熱是2.775m

v

2 0

．

點評：本題電磁感應與力學知識的綜合，培養識別、理解圖象的能力和分析、解決綜合題的能力．