Question

“神舟”六號飛船完成了預定空間科學和技術試驗任務后，返回艙于2005年10月17日4時11分開始從太空向地球表面按預定軌道返回．在離地l0km的高度返回艙打開阻力降落傘減速下降，返回艙在這一過程中所受空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數（空氣阻力系數）為k．已知返回艙的總質量M=3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認為豎直降落．從某時刻起開始計時，返回艙的運動v-t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點的切線，切線交于橫軸于B點的坐標為（ 10，0 ），CD是AD的漸近線，亦是平行于橫軸的直線，交縱軸于C點，C點的坐標為（ 0，6 ）．請解決下列問題：（取g=10m/s²）
（1）在初始時刻v₀=160m/s時，它的加速度多大？
（2）推證空氣阻力系數k的表達式并算出其數值；
（3）返回艙在距地高度h=10m時，飛船底部的4個反推力小火箭點火工作，使其速度由6m/s迅速減至1m/s后落在地面上． 若忽略燃料質量的減少對返回艙總質量的影響，并忽略此段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力（計算結果取兩位有效數字）．

Answer 1

分析：（1）過A點切線的斜率為初始時刻的加速度．
（2）根據牛頓第二定律，列出當速度為160m/s時的表達式Kv₀²+f-Mg=Ma₁．當速度為6m/s時，做勻速運動，列出表達式Kv₁²+f-Mg=0．聯立兩方程組解出k．
（3）在距地高度h=10m前，返回艙已處于勻速運動狀態，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力為0．減速運動的加速度由火箭推力產生，根據勻減速運動求出加速度，再根據牛頓第二定律求出每支小火箭的平均推力．

解答：解：（1）根據速度圖象可知，在初始v₀=160m/s時，過A點切線的斜率即為此時的加速度，設為a₁，
        其大小為 a₁=

△v

△t

=

160

10

m/s²=16m/s²
（2）由圖知，返回艙的v-t圖的斜率逐漸減小，最后是以v₁=6m/s的速度作勻速運動．設返回艙所受空氣浮力為f，在t=0時，根據牛頓第二定律則有：
Kv₀²+f-Mg=Ma₁．    ①
速度為 v₁=6 m/s 時，返回艙受力平衡，即有：Kv₁²+f-Mg=0    ②
由①、②兩式解得：k=

Ma1

v 2 0 - v 2 1

代入數值得：k=

3000×16

1602-62

kg/m=1.88 kg/m
（3）由題意知，在距地高度h=10m前，返回艙已處于勻速運動狀態，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力已持續為0．故返回艙在著地減速期間的加速度實際由4個小火箭的反推力共同產生．設每支小火箭的平均推力為F₀，反推加速度大小為a₂，著地速度為v₂，根據牛頓第二定律
4F₀=M a₂     ③
由運動學公式知：v₂²-v₁²=-2 a₂ h       ④
由③、④兩式解得：F₀=

M( v 2 1 - v 2 2 )

8h

=

3000

8

(

62-12

10

)N=1.3×10³ N．

點評：解決本題的關鍵掌握牛頓第二定律a=

F合

m

．知道速度時間圖線上點的切線斜率表示瞬時加速度，以及在距地高度h=10m時，飛船底部的4個反推力小火箭點火工作，合力就為4個反推力之和．