Question

如圖所示，傾角=30°。的光滑斜面MN底端固定一輕彈簧，輕彈簧的上端與滑塊A固定連接，彈簧勁度系數k-100N/m，A靜止且與距斜面頂端N點相距x=0．10m。另一小滑塊B在N點以初速度沿斜面向下運動，A、B碰撞后具有相同速度但不粘連。B與A分離后，B恰水平進入停放在光滑水平地面上的小車最左端，小車右端與墻壁足夠遠，小車上表面與半圓軌道最低點P的切線相平，小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上。已知水平地面和半圓軌道面均光滑，滑塊A、B可視為質點且質量均為m=2kg，被A壓縮時彈簧存儲的彈性勢能E_p=0．5J，小車質量M=lkg、長L=l．0m，滑塊B與小車上表面間的動摩擦因數=0．2，g取l0m/s²。求：

（I）滑塊B與A碰撞結束瞬間的速度；
（2）小車與墻壁碰撞前瞬間的速度；
（3）為使滑塊B能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，對軌道半徑R有何要求？

Answer 1

（1）；（2）；（3）或

試題分析：（1）設碰撞前瞬間，B的速度為，從釋放B到與A撞前，由動能定理：

解得：
設撞后B的速度為，對B、A碰撞過程
由動量守恒定律可得：
聯立得：           5分
（2）剛開始滑塊A處于平衡狀態，設此時彈簧壓縮量為，對A受力分析可得：

解得：
因
彈簧恢復原長時，上端的位置恰好在N點，B、A碰撞后，保持整體直至彈簧恢復原長時在N點分離。
設即將分離時A、B的速度為，從A、B碰后開除以A、B即將分離，由動量守恒：

解得：
此后B從斜面飛出做斜拋運動直至最高點，設其落入小車最左端速度大小為，
則：
設小車的滑塊共同速度為，
滑塊與小車相對運動過程中動量守恒：
代入數據解得：
以滑塊與小車的相對位移為L₁，由動量守恒定律

代入數據解得：
因小車左端距離墻壁足夠遠，則與墻壁碰撞前，滑塊與小車具有共同的速度
故小車與墻壁碰撞時的速度      10分
（3）小車撞墻后，滑塊將在小車上繼續向右做勻速度為，
位移為的勻減速運動，然后滑上圓軌道的最低點P。
若滑塊恰能滑上圓軌道的最高點Q，設此時的速度為v，
臨界條件：
根據動能定理有
聯立并代入數據得：
若滑塊恰好滑至圓弧到達T點時速度減為0，則滑塊也能沿圓弧軌道運動而不脫離軌道。
根據動能理：
代入數據得：
綜上力述，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道的半徑
必須滿足或                 5分