Question

滑板運動是一項非常刺激的水上運動．研究表明，在進行滑板運動時，水對滑板的作用力F_x垂直于板面，大小為kv²，其中v為滑板速率（水可視為靜止）．某次運動中，在水平牽引力作用下，當滑板和水面的夾角為θ=37°時（如圖），滑板做勻速直線運動，相應的k=54kg/m，人和滑板的總質量為108kg．（取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.8忽略摩擦阻力和空氣阻力）試求：
（1）水平牽引力的大小；
（2）滑板的速率；
（3）水平牽引力的功率．
（4）滑板在水平牽引力作用下做勻速運動，當速度為v時，水平牽引力的功率P將是多大？

Answer 1

分析：（1）對滑板和人整體受力分析，然后運用共點力平衡條件列式求解；
（2）根據(jù)平衡條件求出支持力后，根據(jù)題中的支持力和速度關系公式求解滑板的速率；
（3）直接根據(jù)功率與速度和牽引力關系公式求解．
（4）對滑板和人整體受力分析，重力、支持力和拉力，其中支持力與水面的夾角會變化，根據(jù)共點力平衡條件列式求解．

解答：解：（1）以滑板和運動員為研究對象，其受力如圖所示

由共點力平衡條件可得
F_Ncosθ=mg ①
F_Nsinθ=F ②
由①、②聯(lián)立，得
F=810N
即水平牽引力的大小810N．
（2）由①式
F_N=

mg

cosθ

根據(jù)題意
F_N=kv²得
v=

mg kcosθ

=5m/s
即滑板的速率為5m/s．
（3）根據(jù)功率與速度和牽引力關系公式，牽引力的功率為
P=Fv=4050W
即水平牽引力的功率4050W．
（4）當速率為v時，支持力為：F_N=kv²；
根據(jù)平衡條件，拉力為：F=

F 2 N -(mg)2

=

(kv2)2-m2g2

；
故牽引力功率：P=Fv=

(kv2)2-m2g2

?v=54v

v4-400

；
答：（1）水平牽引力的大小為810N；
（2）滑板的速率為5m/s；
（3）水平牽引力的功率為4050N．
（4）滑板在水平牽引力作用下做勻速運動，當速度為v時，水平牽引力的功率P是54v

v4-400

．

點評：本題關鍵是對物體受力分析，運用共點力平衡條件求出各個力后，再根據(jù)題意求解速度和牽引力的功率．