Question

（2012?懷柔區二模）如圖所示，豎直平面內有無限長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區域內存在磁感應強度B=2T的勻強磁場．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導軌上，金屬桿與導軌等寬且與導軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內），金屬桿2從磁場邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進入磁場后恰作勻速運動．求：
（1）金屬桿2的質量m為多大？
（2）若金屬桿2從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進入磁場經過一段時間后開始勻速運動．在此過程中整個回路產生了1.4J的電熱，則此過程中流過電阻R的電量q為多少？
（3）金屬桿2仍然從離開磁場邊界h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進入磁場的同時由靜止釋放金屬桿1，兩金屬桿運動了一段時間后均達到穩定狀態，試求兩根金屬桿各自的最大速度．（已知兩個電動勢分別為E₁、E₂不同的電源串聯時，電路中總的電動勢E=E₁+E₂．）

Answer 1

分析：（1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，由運動學公式求出進入磁場時的速度v，進入磁場后做勻速運動，重力與安培力平衡，E=BLv，I=

E

2r+R

、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進入磁場經過一段時間后開始勻速運動，速度大小仍等于v．根據能量守恒求出h₂，由

.

E

=

△Φ

△t

=

BLh2

t2

，

.

I

=

. E

2r+R

，q=

.

I

?t2求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．根據平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內速度的增同，根據速度增量相同，得到速度的關系，聯立求解兩桿的最大速度．

解答：解：（1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，則有
    v=

2gh0

=4m/s
金屬桿2進入磁場后勻速運動，則有 mg=BIL
且 E=BLv，I=

E

2r+R

解得，m=

B2L2v

(2r+R)g

=0.2kg
（2）金屬桿2從下落到再次勻速運動的過程中，能量守恒（設金屬桿2在磁場內下降h₂），則有
   mg（h₁+h₂）=

1

2

mv2+Q
解得，h₂=

mv2+2Q

2mg

-h1=1.3m
金屬桿2進入磁場到勻速運動的過程中，

.

E

=

△Φ

△t

=

BLh2

t2

，

.

I

=

. E

2r+R

，q=

.

I

?t2
解得 電量q=

BLh2

2r+R

=0.65C
 （3）金屬2桿剛進入磁場時的速度為v′=

2gh1

=2m/s
釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．
  mg=BIL，且I=

E1+E2

2r+R

，E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
整理得 v1+v2=

mg(2r+R)

B2L2

代入數據得  v₁+v₂=4m/s
因為兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，故任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內速度的增同，即 v₁-0=v₂-v′
代入數據得 v₂=v₁+2
聯立解得，v₁=1m/s，v₂=3m/s
答：（1）金屬桿2的質量m為0.2kg．
（2）流過電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，第3問關鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關系．