Question

【題目】如圖所示，一輕質彈簧的上端固定在傾角為30°的光滑斜面頂部，下端栓接小物塊A，A通過一段細線與小物塊B相連，系統靜止時B恰位于斜面的中點。將細線燒斷，發現當B運動到斜面底端時，A剛好第三次到達最高點。已知B的質量m=2kg，彈簧的勁度系數k=l00N／m，斜面長為L=5m，且始終保持靜止狀態，重力加速度g=l0m/s2。

(i)試證明小物塊A做簡諧運動；

(ii)求小物塊A振動的振幅和周期。

Answer 1

【答案】：（i）證明小物塊A做簡諧運動見解析；
（ii）0.1m； 0.4s．

【解析】（i）燒斷細線后A向上運動，受力平衡時，設彈簧的伸長量為x0，則：kx0-mAgsin30°=0 ①
選A的平衡位置處為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標系，用x表示A離開平衡位置的位移．當A運動到平衡位置下x位置時，物塊A受到的合力為：
F0=mAgsin30°-k（x-x0） ②
聯立①②得：F0=-kx，可知A受到的合外力總是與物塊的位移成反比，所以A做簡諧振動．
（ii）開始時AB組成的系統靜止時，設彈簧的伸長量為x1，根據胡克定律有：
kx1-（mA+mB）gsin30°=0 ③
所以：
燒斷細線后A從此位置開始向上運動，到達平衡位置運動的距離為物塊A的振幅，則：
A=x1x0＝
代入數據得：A=0.1m
燒斷細線后B向下做勻加速直線運動，則：mBgsin30°=mBa
設B到達斜面底端的時間為t，則：

A向上運動經過周期第一次到達最高點，則第三次到達最高點的時間：t=2.5T
代入數據聯立得：T=0.4s