Question

如圖所示，AB是固定在豎直平面內半徑為R的光滑半圓弧，CD是與AB在同一豎直平面內半徑為1.5R的四分之一光滑圓弧軌道，其底端D切線水平，且與AB弧圓心O₁等高。現將質量為m的小球（可視為質點）從圓弧CD上與圓心O₂等高的C處由靜止開始釋放，小球落進半圓弧AB并與之內壁碰撞，碰撞過程中不損失機械能，結果小球剛好能回到D點并能沿DC弧返回C 。重力加速度g取10m/s²。試求：
（1）小球剛滑到D點時，對D端的壓力大小；
（2）CD弧底端D距AB弧圓心O₁的距離；
（3）小球與AB的弧面碰撞時的速度大小。

Answer 1

解：（1）選取D所在平面為零重力勢能參考面，由機械能守恒有：
 ①
則 ②
小球運動到D點時應用牛頓第二定律有： ③
解②③兩式得：
由牛頓第三定律可得：小球對D點的壓力大小為3mg
（2）要使小球能按原路反彈回去，小球必須垂直打在圓弧上，設擊點為E，連接O₁E，此為過E點的切線，過E作AB垂線，交點為F，則O₁為DF的中點，由平拋運動的知識有：

，  
在直角中，由勾股定理有，
解得：，DO₁=O₁F
（3）平拋運動的初速為，豎直方向的末速度為：
故所求的速度大小為：