Question

如圖所示，AB是固定于豎直平面內的

1

4

圓弧形光滑軌道，末端B處的切線方向水平．一物體（可視為質點）P從圓弧最高點A處由靜止釋放，滑到B端飛出，落到地面上的C點．測得C點與B點的水平距離OC=L，B點距地面的高度OB=h．現在軌道下方緊貼B端安裝一個水平傳送帶，傳送帶的右端與B點的距離為

L

2

，當傳送帶靜止時，讓物體P從A處由靜止釋放，物體P沿軌道滑過B點后又在傳送帶上滑行并從傳送帶的右端水平飛出，仍然落到地面上的C點．求：
（1）物體P與傳送帶之間的摩擦因數μ．
（2）若在A處給物體P一個豎直向下的初速度，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落到地面上的D點，求OD的大小．
（3）若驅動輪轉動、帶動傳送帶以速度v勻速運動，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上，設著地點與O點的距離為x，求出x與傳送帶上表面速度v的函數關系．

Answer 1

分析：（1）先研究無傳送帶的情況：物體從B運動到C，做平拋運動，已知h和L，由平拋運動的規律求得物體在B點的速度v_B，再研究有傳送帶的情況：由平拋運動的規律求出物體離開傳送帶時的速度v₁，根據動能定理求得摩擦因數μ．
（2）根據動能定理研究物體離開傳送帶時的速度，由平拋運動的知識求得OD．
（3）通過物體P滑到底端的速度與傳送帶的速度進行比較，判斷物體P在傳送帶上的運動情況，得出物體離開傳送帶的速度，根據平拋運動的知識求出水平位移．

解答：解：（1）無傳送帶時，物體從B運動到C，做平拋運動，設物體在B點的速度為v_B，
由L=v_Bt；
h=

1

2

gt²，
解得：v_B=L

g 2h

當有傳送帶時，設物體離開傳送帶時的速度為v₁，由平拋規律：

L

2

=v1t
h=

1

2

gt2
解得：v1=L

g 8h

；
由此可知物體滑上傳送帶時的初速度為v_B，末速度為v₁，物體的位移為

L

2

，此過程中只有傳送帶的摩擦力對物體做功，故根據動能定理有：
-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

代入v_B和v₁可解得：
μ=

3L

8h

；
（2）設物體離開傳送帶時的速度為v₂，物體從A滑到離開傳送帶的過程中，只有重力和傳送帶的摩擦力對物體做功，由動能定理有：
mgR-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

又物體從A滑至B的過程中有mgR=

1

2

m

v

2 B

所以有：

1

2

m

v

2 B

-

3L

8h

×mg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

又vB=L

g 2h

可解得：v₂=

gL2 8h + v 2 0

物體離開傳送帶后做平拋運動，由題意根據平拋可知
OD=

L

2

+v₂t=

L

2

+

gL2 8h + v 2 0

2h g

=

L

2

+

L2 4 + 2h v 2 0 g

；
（3）物體由靜止從P點開始下滑，到達B點的速度vB=L

g 2h

，當物體滑上傳送帶全程加速時，物體滑離傳送帶時的速度v₂，根據動能定理有：
加速時摩擦力做正功，故有：μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 B

代入數值可得：v2=

gL2 2h + 3gL2 8h

所以當傳送帶的速度v＞

gL2 2h + 3gL2 8h

，物體離開傳送帶的速度v＞

gL2 2h + 3gL2 8h

，由題意根據平拋運動知識可知：x=

L

2

+v2t=

L

2

+

L2+ 3 4 L2

=

L

2

(1+

7

)
同理有當物體由靜止從P點開始下滑，達到B點的速度vB=L

g 2h

，當物體滑上傳送帶并在全程在摩擦力作用下做減速運動時，物體滑離傳送帶的時的速度為v₁，根據動能定理有：
減速時摩擦力做負功，故有：-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

代入相應數值可解得：v₁=

gL2 8h

所以當傳送帶速度小于v＜

gL2 8h

時，物體滑離傳送帶時的速度v1=

gL2 8h

所以可知；x=

L

2

+v1t=

L

2

+

gL2 8h

2h g

=L
當傳送帶的速度滿足：v₁≤v≤v₂時，物體在摩擦力作用下離開傳送帶時的速度大小都為v，
故此時x=

L

2

+v

2h g

答：（1）物體P與傳送帶之間的摩擦因數μ=

3L

8h

；
（2）若在A處給物體P一個豎直向下的初速度，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落到地面上的D點，求OD的大小為

L

2

+

L2 4 + 2h v 2 0 g

．
（3）若驅動輪轉動、帶動傳送帶以速度v勻速運動，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上，設著地點與O點的距離為x，求出x與傳送帶上表面速度v的函數關系為：
x=L              v＜

gL2 8h

     
x=

L

2

+v

2h g

     

gL2 8h

≤v≤

7gL2 8h

x=

L

2

(1+

7

)      v＞

7gL2 8h

點評：本題是機械能守恒、平拋運動，動能定理的綜合應用，要具有分析物體運動過程的能力，能分情況全面分析物體的運動情況，要抓住平拋運動的時間由高度決定這一知識點．本題較難，易犯考慮不全面的錯誤．