Question

如圖所示，一內壁光滑的環形細圓管固定在水平桌面上，環內間距相等的三位置處，分別有靜止的大小相同的小球A、B、C，質量分別為m₁=m，m₂=m₃=1.5m，它們的直徑略小于管的直徑，小球球心到圓環中心的距離為R，現讓A以初速度v₀沿管順時針運動，設各球之間的碰撞時間極短，A和B相碰沒有機械能損失，B與C相碰后能結合在一起，稱為D．求：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰結合在一起后對管沿水平方向的壓力大小；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰經過的時間．

Answer 1

分析：（1）A和B相碰時沒有機械能損失，遵守動量守恒和機械能兩大守恒，分別列出兩大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）根據動量守恒定律求出B和C相碰結合在一起的速度．碰撞后管對結合體的水平方向的彈力提供向心力，根據牛頓運動定律求出B和C相碰結合在一起后對管沿水平方向的壓力大小；
（3）小球碰撞前后都在圓管中做勻速圓周運動，根據弧長與速度的比值，求出A、B碰后，B與C相碰所經歷的時間．
從A和B第一次相碰后，到D與A相碰，AD所通過的總弧長為

4πR

3

，兩者路程之和等于總弧長，列式求解A和B第一次相碰后，到A和D相碰經過的時間．

解答：解：（1）設A、B碰撞后速度分別為v₁、v₂，根據動量守恒和機械能兩守恒得：
     mv₀=mv₁+1.5mv₂
    

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?1.5m

v

2 2

聯立解得：
     v1=-

1

5

v0（負號表示A球逆時針返回），v2=

4

5

v0
（2）由上面解答可知，BC首先要碰撞，設B和C相碰結合在一起后速度為v₃，則由動量守恒有：
 1.5mv₂=3mv₃
得：v₃=

1

2

v2=

2

5

v0
設管對球沿水平方向的壓力N，此力提供D球做勻速圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律得：
    N=3m?

v 2 3

R

=

12m v 2 0

25R

，
由牛頓第三定律得知，B和C相碰結合在一起后對管沿水平方向的壓力大小：
N′=N=

12m v 2 0

25R

；
（3）A、B碰后，B經時間t₁與C相碰，再經時間t₂，D與A相碰
    t1=

2πR

3v2

=

5πR

6v0

從A和B第一次相碰后，到D與A相碰：
v3t2+|v1|?(t1+t2)=

4πR

3

得：t2=

35πR

18v0

∴A和B第一次相碰后，到A和D相碰經過的時間t為：
t=t1+t2=

25πR

9v0

答：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小分別為

1

5

v0和

4

5

v0；
（2）B和C相碰結合在一起后對管沿水平方向的壓力大小為

12m v 2 0

25R

；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰經過的時間為

25πR

9v0

．

點評：本題中AB發生的是彈性碰撞，沒有機械能損失，遵守運量守恒和動能守恒．此題中還涉及相遇問題，根據位移關系研究時間，是常用的方法．