Question

如圖所示，質量為m的小球自由下落高度為R后沿豎直平面內的軌道ABC運動．AB是半徑為R的1/4粗糙圓弧，BC是直徑為R的光滑半圓弧，小球運動到C時對軌道的壓力恰為零．B是軌道最低點．求：
（1）小球在AB弧上運動時，摩擦力對小球做的功．
（2）小球經B點前、后瞬間對軌道的壓力之比．
（3）小球離開C點后豎直下落多少高度才能撞上圓軌道？

Answer 1

（1）小球在C點：根據牛頓第二定律得
mg=m

v 2c

R 2

小球由靜止釋放到C點過程，據動能定理得
mgR+W_f=

1

2

mv_C²
聯立解得W_f=-

3

4

mgR
（2）小球由靜止釋放到B點過程，據動能定理得
2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B點前瞬間據牛頓第二定律得
F_N前-mg=m

v 2B

R

在B點后瞬間據牛頓第二定律得
F_N后-mg=m

v 2B

R 2

由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力大小．
聯立解得 F_N前：F _N后=7：12
（3）小球離開C點后做平拋運動，合位移等于半徑，根據平拋運動的分位移公式，有：
x=v_ct
y=

1

2

gt2
R²=x²+y²
聯列解得：y=

5 -1

2

R≈0.618R
答：（1）小球在AB弧上運動時，摩擦力對小球做的功為-

3

4

mgR．
（2）小球經B點前、后瞬間對軌道的壓力之比為7：12．
（3）小球離開C點后豎直下落0.618R的高度才能撞上圓軌道．