Question

如圖所示，箱子a連同固定在箱子底部的豎直桿b的總質(zhì)量M=10kg．箱子內(nèi)部高度H=3.6m，桿長(zhǎng)h=2.0m，桿的頂端為Q點(diǎn)．另有一內(nèi)孔略大于直桿截面的鐵環(huán)從箱子頂部P點(diǎn)以v₀=4m/s的初速度落下，正好套在桿上沿桿運(yùn)動(dòng)，鐵環(huán)第一次被箱子底部彈起后恰好能重新返回到P點(diǎn)，小鐵環(huán)的質(zhì)量為m=2kg．（不計(jì)鐵環(huán)與箱底碰撞時(shí)的能量損失，g取10m/s²）
（1）求在沿桿運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，鐵環(huán)受到的摩擦力f大小是多少？
（2）設(shè)鐵環(huán)在t₀=0時(shí)刻釋放，t₁時(shí)刻第一次到達(dá)Q點(diǎn)，t₂時(shí)刻第一次到達(dá)桿底部，t₃時(shí)刻第二次到達(dá)Q點(diǎn)，t₄時(shí)刻恰好回到P點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D（b）給定的坐標(biāo)中，畫(huà)出0～t₄時(shí)間內(nèi)箱子對(duì)地面壓力的變化圖象；
（3）求從開(kāi)始下落到最終停止在箱底，鐵環(huán)運(yùn)動(dòng)的總路程s是多少？

Answer 1

分析：（1）從P運(yùn)動(dòng)到再返回P點(diǎn)，此過(guò)程重力做功為零，只有摩擦力做功，可由動(dòng)能定理得到摩擦力f
（2）求出摩擦力后，由t₀=0時(shí)刻釋放，t₁時(shí)刻第一次到達(dá)Q點(diǎn)，t₂時(shí)刻第一次到達(dá)桿底部，t₃時(shí)刻第二次到達(dá)Q點(diǎn)，t₄時(shí)刻恰好回到P點(diǎn)，可知在此四個(gè)時(shí)間段內(nèi)的摩擦力，情況從而得出對(duì)應(yīng)時(shí)間段內(nèi)的支持力．
（3）鐵環(huán)下落下在反彈，然后再落下就是第三次到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理判斷其能不能再次反彈回到Q點(diǎn)，若可以，則可由動(dòng)能定理求得第四次到達(dá)Q點(diǎn)的動(dòng)能，然后求得上升的距離，然后再依據(jù)鐵環(huán)第四次到達(dá)Q點(diǎn)的動(dòng)能判定其能不能第五次到Q點(diǎn)，若還可以，則繼續(xù)依照此思路判定，知道判定出來(lái)不能再次反彈回到Q點(diǎn)為止，則由動(dòng)能定理可以求得此過(guò)程中摩擦做功的路程，再加上幾次（次數(shù)是由前面的判定得出的）通過(guò)PQ段的高度和，兩者相加為環(huán)經(jīng)過(guò)的總路程．

解答：解：（1）從P運(yùn)動(dòng)到再返回P點(diǎn)，此過(guò)程重力做功為零，由動(dòng)能定理：-2fh=0-

1

2

mv₀²
解得：f=4N
（2）由題知鐵環(huán)在t₀=0時(shí)刻釋放，t₁時(shí)刻第一次到達(dá)Q點(diǎn)，t₂時(shí)刻第一次到達(dá)桿底部，t₃時(shí)刻第二次到達(dá)Q點(diǎn)，t₄時(shí)刻恰好回到P點(diǎn)．故
0～t₁時(shí)間內(nèi)，桿對(duì)地的壓力等于重力，故箱子對(duì)地的壓力為：100N
t₁～t₂時(shí)間內(nèi)，桿還受環(huán)的摩擦力向下，故箱子對(duì)地的壓力為：100N+4N=104N
t₂～t₃時(shí)間內(nèi)，桿受環(huán)的摩擦力向上，故箱子對(duì)地的壓力為：100N-4N=96N
t₃～t₄時(shí)間內(nèi)，桿對(duì)地的壓力等于重力，故箱子對(duì)地的壓力為：100N
則箱子對(duì)地面壓力的變化圖象如圖（見(jiàn)右圖）
（3）鐵環(huán)第三次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)（向下 運(yùn)動(dòng)）的動(dòng)能為：E_k1=mg（H-h）=32J＞2fh
鐵環(huán)第四次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)（向上運(yùn)動(dòng)）的動(dòng)能為：E_k2=E_k1-2fh=16J，
設(shè)小環(huán)在空中再次上升的距離為h′，則有：
-mgh′=0-E_k2，可解得h′=0.8m
鐵環(huán)第四次到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)（向下運(yùn)動(dòng)）的動(dòng)能為：E_k3=E_k2=16J≤2 fh
之后鐵環(huán)將始終沿直桿運(yùn)動(dòng)直至停止，設(shè)之后鐵環(huán)沿直桿運(yùn)動(dòng)的距離為x，則有：
mgh-fx=0-E_k3
解得：x=14m
故鐵環(huán)的總路程為：s=3H+h+2 h′+x=28.4m
答：（1）求在沿桿運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，鐵環(huán)受到的摩擦力f大小是4N
（2）如圖
（3）求從開(kāi)始下落到最終停止在箱底，鐵環(huán)運(yùn)動(dòng)的總路程s是28.4m

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜的部分是在第三問(wèn)，這里需要多次判定，知道判定出來(lái)鐵環(huán)不能再次回到Q，利用這個(gè)次數(shù)，來(lái)求得通過(guò)Q點(diǎn)以上的路程，和在摩擦力作用下通過(guò)的路程（此段應(yīng)用的是摩擦力做功等于力乘以路程，這是摩擦力做功的特征），相加才能得到總路程．易錯(cuò)點(diǎn)也是這一問(wèn)．