Question

如圖1示，箱子A連同固定在箱子底部的豎直桿的總質量為M=10kg．箱子內部高度H=3.75m，桿長h=2.5m，另有一質量為m=2kg的小鐵環B套在桿上，從桿的底部以v₀=10m/s的初速度開始向上運動，鐵環B剛好能到達箱頂，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）在鐵環沿著桿向上滑的過程中，求所受到的摩擦力大小為多少．甲同學認為可以對鐵環進行受力分析，應用牛頓第二定律和運動學的公式求解；乙同學認為可以對鐵環進行受力分析，從鐵環開始運動到鐵環到達最高點的全過程應用動能定理求解．你認為哪個同學的方法在書寫和計算上比較簡單？請用這種簡單的方法求出摩擦力的大�。�
（2）在圖2坐標中，畫出鐵環從箱底開始上升到第一次返回到箱底的過程中箱子對地面的壓力隨時間變化的圖象（要求寫出對重點數據的簡要的推算步驟）
（3）若鐵環與箱底每次碰撞都沒有能量損失，求小環從開始運動到最終停止在箱底，所走過的總路程是多少？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理與牛頓第二定律、運動學公式的關系進行分析；根據動能定理求解摩擦力的大�。�
（2）第一次到達桿頂用時t₁，速度為v₁，第一次離開桿頂到返回桿頂用時t₂，第一次滑到桿底速度為v₂，在桿上滑下用時t₃．分三個過程進行研究．
根據運動學基本公式求出時間，再根據牛頓第二定律求出各時間段對應的壓力，即可畫圖；
（3）先求出小環能升到桿頂所需要的能量和小環第一次滑到桿底的機械能，判斷是否能再次越過桿頂，再根據動能定理求出在桿上反復滑行的總路程即可求解．

解答：解：（1）乙同學方法比較簡便，因為動能定理是根據牛頓第二定律和運動學公式推導出來的．
對小鐵環上升的過程運用動能定理得：
-mgH-fs=0-

1

2

mv₀²
解得：f=10N
（2）第一次到達桿頂用時t₁，速度為v₁，第一次離開桿頂到返回桿頂用時t₂，
第一次滑到桿底速度為v₂，在桿上滑下用時t₃．
則鐵環做豎直上拋運動的過程，有 v₁=

2g(H-h)

=5m/s，t₂=

2v1

g

=1s
對于第一次從底端到桿過程 t₁=

h

1 2 (v0+v1)

=

1

3

s
第一次從桿頂到底端的過程，由動能定理：mgH-fh=

1

2

mv₂²
解得，v₂=5

2

m/s
t₃=

h

1 2 (v1+v2)

=（

2

-1）s=0.41s
圖上畫出
對0～

1

3

s：N₁=Mg-f=90N

1

3

s～

4

3

s：N₂=Mg=100N

4

3

s～（

1

3

+

2

）s：N₃=Mg+f=110N
如下圖所示；
（2）小環能升到桿頂所需要的能量為：
E₀=mgh+fh=2×10×2.5+10×2.5=75J
小環第一次滑到桿底的機械能為E₂：E₂=mv₀²-2fh=50J
E₂＜E₀所以小環只能越過桿頂一次，
設小環在桿上反復滑行的總路程為s：
有動能定理得：
fs=

1

2

mv₀²
解得：s=10m
s_總=2（H-h）+s=12.5m
答：（1）在鐵環沿著桿向上滑的過程中，所受到的摩擦力大小為10N；
（2）如圖所示；
（3）小環從開始運動到最終停止在箱底，所走過的總路程為12.5m．

點評：本題主要考查了動能定理的直接應用，在第（3）問中要注意先判斷小環能離開桿頂幾次，鐵環與箱底每次碰撞都沒有能量損失，說明速度大小不變，方向相反，難度適中．