Question

（2013?梅州一模）一質量為m₁=1kg、帶電量為q=0.5c的小球/V靜止在光滑水平平臺上，另一質 量為m₂=1kg、不帶電的小球M自平臺左端以速度v=4.5m/s向右運動，兩小球發生完全 彈性碰撞后，小球N自平臺右端水平飛出，碰撞過程小球N的電荷量不變，不計空氣阻力，小球N飛離平臺后由λ點沿切線落入豎直光滑圓軌道ABC，圓軌道ABC的形狀為半徑R＜4m的圓截去了左上角127°的圓弧，CB為其豎直直徑，在過A點的豎直線00'的右邊空間存 在豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E=10V/m，（sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取 10m/s²）求：
（1）兩球碰撞后小球N的速度大小v_N
（2）小球N經過A點的速度大v_A
（3）欲使小球N在圓軌道運動時不脫離圓軌道，求 半徑R的取值應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）兩小球發生完全彈性碰撞，動量和機械能均守恒，由兩大守恒定律列式，求兩球碰撞后小球N的速度大小v_N．
（2）小球離開平臺后做平拋運動，由題知，小球經過A點時的速度沿圓軌道的切線方向，根據速度分解求出經過A點時的速度大小v_A．
（3）欲使小球N在圓軌道運動時不脫離圓軌道，有兩種情況：一種恰好能通過最高點C，由重力和電場力的合力提供向心力，另一種恰好滑到與圓心等高的點速度為零，根據牛頓第二定律和動能定理結合進行求解．

解答：解：（1）由題意，兩小球發生完全彈性碰撞，根據動量守恒和機械能守恒，得
   m₂v=m₁v_N+m₂v_M
  

1

2

m2v2=

1

2

m1

v

2 N

+

1

2

m2

v

2 M

聯立解得：v_N=4.5m/s
（2）小球離開平臺后做平拋運動，由題知，小球經過A點時的速度沿圓軌道的切線方向，則
  cos53°=

vN

vA

解得v_A=7.5m/s
（3）（i）小球N沿切線落入豎直光滑圓軌道ABC后，小球沿軌道做圓周運動，若恰好能通過最高點C，由重力和電場力的合力提供向心力，設滑至最高點的速度為v_C，則有
   m₁g+qE=m1

v 2 C

R

根據動能定理得：
-（m₁g+qE）R（1+cos53°）=

1

2

m1

v

2 C

-

1

2

m1

v

2 A

聯立以上兩式解得  R=

25

28

m
故當0＜R≤

25

28

m時，小球N沿著軌道做圓周運動的，且能從圓的最高點C飛出．
（ii）若小球N恰好滑到與圓心等高的圓弧上的T點時速度為零，則滑塊也沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．根據動能定理得
-（m₁g+qE）Rcos53°=0-

1

2

m1

v

2 A

解得，R=

25

8

m
根據題中信息可知R＜4m．故當

25

8

m≤R＜4m時，小球在軌道內來回的滾動．
綜上所術，小球能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，半徑R的取值應滿足0＜R≤

25

28

m或

25

8

m≤R＜4m． 
答：
（1）兩球碰撞后小球N的速度大小v_N是4.5m/s．
（2）小球N經過A點的速度大v_A是7.5m/s
（3）欲使小球N在圓軌道運動時不脫離圓軌道，半徑R的取值應滿足0＜R≤

25

28

m或

25

8

m≤R＜4m．

點評：本題是復雜的力學綜合題，整合了動量守恒、機械能守恒、動能定理、向心力等等多個力學規律，特別是第3題小球能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，有兩種可能的情況，不要漏解．