Question

【題目】如圖所示，在桌面上方有一倒立的玻璃圓錐，頂角∠AOB＝120°，頂點O與桌面的距離為4a，圓錐的底面半徑R＝a，圓錐軸線與桌面垂直．有一半徑為R的圓柱形平行光垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率n＝，求光束在桌面上形成的光斑的面積．

Answer 1

【答案】4πa2

【解析】試題分析：當半徑為R的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，經過第一次折射時，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發生偏折．當第二次折射時，由于入射角等于30°，而玻璃的折射率n=，可得臨界角與入射角的關系，判斷光線不會發生光的全反射，作出光路圖，可根據幾何關系可確定光斑的半徑，即可求得光斑的面積．

解：設玻璃的臨界角為C，則有：sinC==

如圖所示，射到OA界面的入射角為：α=30°，

則有：sinα=＜sinC，α＜C

故入射光線能從圓錐側面射出．

設折射角為β，無限接近A點的折射光線為AC，根據折射定律有：

sinβ=nsinα

解得：β=60°

過O點作OD∥AC，則∠O2OD=β﹣α=30°

在直角三角形O1AO中，O1O=Rtan30°=a

在直角三角形△ACE中，EC=AEtan30°=（4a+a）=a

故O2C=EC﹣R=a

O2D=O2Otan30°=4atan30°=a

光束在桌面上形成光環的面積

S=πO2D2﹣πO2C2=πa2

答：光束在桌面上形成的光照亮部分的面積為πa2．