Question

相距L=0.8m的足夠長金屬導軌的左側為水平軌道，右側為傾角37°的傾斜軌道，金屬棒ab和金屬棒cd分別水平地放在兩側的軌道上，如圖（a）所示，兩金屬棒的質量均為1.0kg．水平軌道位于豎直向下的勻強磁場中，傾斜軌道位于沿斜面向下的勻強磁場中，兩個磁場的磁感應強度大小相等．ab、cd棒與軌道間的動摩擦因數為μ=0.5，兩棒的總電阻為R=1.5Ω，導軌電阻不計．ab棒在水平向左、大小按圖（b）所示規律變化的外力F作用下，由靜止開始沿水平軌道做勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）

（1）求兩個磁場的磁感應強度B的大小和ab棒的加速度a₁的大小；
（2）已知在2s內外力F做功為18J，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；
（3）寫出cd棒運動的加速度a₂（m/s²）隨時間t（s）變化的函數式a₂（t），并求出cd棒達到最大速度所需的時間t₀；
（4）請在圖（c）中畫出cd棒受到的摩擦力f_cd隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）ab棒做加速運動，根據牛頓第二定律列式，得到外力F與加速度的表達式，結合圖象的信息，求出B和加速度；
（2）ab棒做勻加速運動，由運動學v=at求出2s末的速度，由公式s=

1

2

at²求出2s內的位移，運用能量守恒定律求解兩金屬棒產生的總焦耳熱；
（3）根據牛頓第二定律得到cd棒的加速度表達式，即可分析何時加速度最大，并求出時間．
（4）分析cd棒的受力情況，由公式f=μN求出摩擦力的表達式，從而作出圖象．

解答：解：（1）根據牛頓第二定律得：
ab棒：F-μmg-F_A=m₁a₁
其中安培力F_A=BIL=

B2L2a1t

R

對ab棒有：m₁a₁=F-μmg-F_A，
結合圖象的信息，將t=0時，F=6N、F_A=0 代入，可求得a₁=1m/s²
a₁為定值，則

B2L2a1

R

=1.5，
將L=0.8m、R=1.5Ω、a₁=1m/s²代入上式，可求得B=1.875T
（2）2s末，ab棒的速度υ_t=a₁t=2m/s，位移s=

1

2

a₁t²=2m
對ab棒，由能量守恒得
    W_F=

1

2

mυ_t²+μm₁gs+Q，
可解得Q=6J
（3）對cd棒有m₂gsin37°-μ（m₂gcos37°+F_A）=m₂a₂，
其中F_A=BIL=

B2L2a1t

R

可得a₂=2-0.75t
a₂=0時cd棒的速度最大，此時t=2.67s
（4）cd棒受到的摩擦力f_cd=μ（m₂gcos37°+F_A）=4+0.75t
作出f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．
答：
（1）兩個磁場的磁感應強度B的大小為1.875T，ab棒的加速度a₁的大小為1m/s²；
（2）這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱是6J；
（3）cd棒運動的加速度a₂（m/s²）隨時間t（s）變化的函數式a₂（t）為a₂=2-0.75t，cd棒達到最大速度所需的時間t₀為t=2.67s．
（4）在圖（c）中畫出cd棒受到的摩擦力f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．

點評：本題是電磁感應與力學知識的結合，關鍵要能推導出安培力表達式，運用牛頓第二定律進行分析和計算．