Question

（2011?宜昌二模）如圖所示，一長為L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一個直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質量為m．玻璃管右邊的空間存在方向豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場．磁場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠．玻璃管帶著小球以水平速度v0垂直于左邊界向右運動，由于水平外力的作用，玻璃管進入磁場后速度保持不變，經一段時間后小球從玻璃管b端滑出并能在水平面內自由運動，最后從左邊界飛離磁場．設運動過程中小球的電荷量保持不變，不計一切阻力．求：
（1）小球從玻璃管b端滑出時速度的大小；
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時間t變化的關系；
（3）小球飛離磁場時速度的方向．

Answer 1

分析：（1）小球在管中的運動情況：小球隨管向右勻速運動時，洛倫茲力豎直向上的分力大小不變，小球沿管向上做勻加速運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出小球豎直向上的分速度，再與管速合成即可求出小球從玻璃管b端滑出時速度的大小；
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，水平方向受到的洛倫茲力的分力與外力平衡，由速度公式求出小球豎直向上的分速度與時間的關系，得到洛倫茲力的水平分力與時間的關系，即得到外力與時間的關系．
（3）小球離開管子后在磁場中做勻速圓周運動．先先求出球隨管向右的位移，由牛頓第二定律得到小球在磁場中圓周運動的半徑，由數學知識求出小球飛離磁場時速度的方向與水平方向的夾角．

解答：解：（1）如圖所示，小球管中運動的加速度為：
 a=

Fy

m

=

Bv0q

m

…①
設小球運動至b端時的y方向速度分量為vy，
則：

v

2 y

=2aL… ②
又：v=

v 2 0 + v 2 y

…③
由①～③式，可解得小球運動至b端時速度大小為：
v=

2Bv0q m L+ v 2 0

…④
（2）由平衡條件可知，玻璃管受到的水平外力為：
  F=F_x=Bv_yq…⑤
  v_y=at=

Bv0q

m

t… ⑥
由⑤～⑥式可得外力隨時間變化關系為：F=

B2v0q2

m

t… ⑦
（3）設小球在管中運動時間為t₀，小球在磁場中做圓周運動的半徑為R，軌跡如圖所示，
t₀時間內玻璃管的運動距離 x=v₀t₀…  ⑧
  L=

1

2

a

t

2 0

…⑨
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

… ⑩
由幾何關系得：sinα=

x-x1

R

…（11）
  

x1

R

=

vy

v

…（12）
由①～②、⑧～（12）式可得：sinα=0
故α=0°，即小球飛離磁場時速度方向垂直于磁場邊界向左．
答：
（1）小球從玻璃管b端滑出時速度的大小是

2Bv0q m L+ v 2 0

；
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時間t變化的關系是：F=

B2v0q2

m

t；
（3）小球飛離磁場時速度方向垂直于磁場邊界向左．

點評：本題的解題方法有特殊，對小球在磁場中的運動進行分解，要注意洛倫茲力與之對應的分速度關系，運用左手定則判斷．同時，要充分運用幾何知識分析小球的運動軌跡．