Question

質量m=1.0 kg的甲物體與豎直放置的輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，如圖所示。質量m=1.0 kg的乙物體從甲物體正上方，距離甲物體h=0.40 m處自由落下，撞在甲物體上在極短的時間內與甲物體粘在一起（不再分離）向下運動。它們到達最低點后又向上運動，上升的最高點比甲物體初始位置高H=0.10 m。已知彈簧的勁度系數k=200 N/m，且彈簧始終在彈性限度內，空氣阻力可忽略不計，重力加速度g取10 m/s²。求：

（1）乙物體和甲物體碰撞過程中損失的動能；

（2）乙物體和甲物體碰撞后一起向下運動至最低點的過程中，甲乙兩物體克服彈簧彈力所做的功。

Answer 1

（1）ΔE=2J

（2）W=6.0J

解析:

（1）設乙物體和甲物體碰撞前瞬間乙物體的速度大小為v₁，根據v₁²=2gh

解得v₁=2m/s =2.8m/s…………………2分（說明：結果為2m/s同樣得分）

設乙物體和甲物體碰撞后的共同速度大小為v₂，由動量守恒定律有mv₁=2mv₂  

解得………2分（說明：結果為m/s同樣得分）

所以碰撞后系統的動能…………………………………2分

因為甲、乙物體構成的系統碰撞前的動能E_k1=4J，所以乙物體和甲物體碰撞過程中損失的機械能ΔE= E_k1- E_k2=2J…………………………………………………………3分

（2）設甲物體靜止時彈簧壓縮量為x₁，

根據平衡條件，解得………………………………………2分

甲和乙碰撞后做簡諧運動，在通過平衡位置時兩物體所受合力為零，速度最大，設此時彈簧壓縮量為x₂，解得…………………………………2分

甲物體和乙物體一同上升到最高點時，兩物體與簡諧運動平衡位置的距離，即簡諧運動的振幅A=x₂+（H－x₁）=15cm

根據簡諧運動的對稱性可知，兩物體向下運動的距離x=A+（x₂－x₁）=20cm…2分

設兩物體向下運動至最低點的過程中，克服彈簧彈力做功為W，

根據動能定理有……2分解得W=6.0J…………1分