Question

【題目】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點：

（1）求推力對小球所做的功．

（2）x取何值時，完成上述運動所做的功最少？最小功為多少．

（3）x取何值時，完成上述運動用力最小？最小力為多少．

Answer 1

【答案】（1）推力對小球所做的功是．

（2）x等于2R時，完成上述運動所做的功最少，最小功為mgR．

（3）x取4R時，完成上述運動用力最小，最小力為mg

【解析】

試題分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當到達B點撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后，又正好落回A點．因小球離開C點后做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．

（2）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當小球恰好到達C點時，由重力充當向心力，此時C點的速度最小，力F做功最小．先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，根據（1）問的結果求出x，即可得到最小功；

（3）根據功與x的關系式，運用數學知識求解力最小時x的值及最小的力．

解：（1）由題意，質點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設質點在C點的速度為vC，質點從C點運動到A點所用的時間為t，則

在水平方向：x=vCt ①

豎直方向上：2R=gt2 ②

解①②有 vC= ③

對質點從A到C，由動能定理有

WF﹣mg2R=m ④

解得 WF= ⑤

（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由④式得 WF=mg2R+m，則知，只要質點在C點速度最小，則功WF就最小．

若質點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，

由牛頓第二定律有

mg=，則 v= ⑥

由③⑥有=，解得x=2R時，WF最小，最小的功WF=mg2R+m=mgR．

（3）由⑤式WF=mg（），W=Fx

則得 F=mg（）

因＞0，x＞0，

由極值不等式有

當=時，即x=4R時，+=8，最小的力F=mg．

答：（1）推力對小球所做的功是．

（2）x等于2R時，完成上述運動所做的功最少，最小功為mgR．

（3）x取4R時，完成上述運動用力最小，最小力為mg．