Question

（08年天津卷）(22分)磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具。它的驅動系統簡化為如下模型，固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內，長邊MN長為l，平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖1所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度B沿Ox方向按正弦規律分布，其空間周期為λ，最大值為B₀，如圖2所示，金屬框同一長邊上各處的磁感應強度相同，整個磁場以速度v₀沿Ox方向勻速平移。設在短暫時間內，MN、PQ邊所在位置的磁感應強度隨時間的變化可以忽略，并忽略一切阻力。列車在驅動系統作用下沿Ox方向加速行駛，某時刻速度為v(v<v₀)。

（1）簡要敘述列車運行中獲得驅動力的原理；

（2）為使列車獲得最大驅動力，寫出MN、PQ邊應處于磁場中的什么位置及λ與d之間應滿足的關系式：

（3）計算在滿足第（2）問的條件下列車速度為v時驅動力的大小。

Answer 1

解析：

（1）由于列車速度與磁場平移速度不同，導致穿過金屬框的磁通量發生變化，由于電磁感應，金屬框中會產生感應電流，該電流受到的安培力即為驅動力。

（2）為使列車獲得最大驅動力，MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且反向的地方，這會使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導致框中電流最強，也會使得金屬框長邊中電流受到的安培力最大。因此，d應為的奇數倍，即

      或       （）      ①

（3）由于滿足第（2）問條件：則MN、PQ邊所在處的磁感應強度大小均為B₀且方向總相反，經短暫的時間，磁場沿Ox方向平移的距離為，同時，金屬框沿Ox方向移動的距離為。

    因為v₀>V，所以在時間內MN邊掃過磁場的面積

 

   

    在此時間內，MN邊左側穿過S的磁通移進金屬框而引起框內磁通量變化

 

                                                ②

    同理，該時間內，PQ邊左側移出金屬框的磁通引起框內磁通量變化

 

                                                ③

 

    故在內金屬框所圍面積的磁通量變化

 

                                                  ④

    根據法拉第電磁感應定律，金屬框中的感應電動勢大小

 

                                                                     ⑤

    根據閉合電路歐姆定律有

 

                                                                        ⑥

    根據安培力公式，MN邊所受的安培力

 

   

     PQ邊所受的安培力

 

       

 

 根據左手定則，MN、PQ邊所受的安培力方向相同，此時列車驅動力的大小

 

                                              ⑦

 

    聯立解得

 

                                                     ⑧