Question

如圖所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，導軌間距為L=1m，左側接一阻值為R=0.3Ω的電阻，區域efgh內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁感應強度為B=0.5T，磁場的寬度為d=1m；一質量為m=1kg，電阻為r=0.2Ω的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，受到F=0.5v+0.4（N）（v為金屬棒運動速度）的水平力作用，從磁場的左邊界ef由靜止開始運動，測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大．
（1）若撤去水平力后棒的速度v隨位移x的變化規律滿足v=v₀-

B2L2

m(R+r)

?x，且棒在運動到gh處時恰好靜止，則水平力F作用的時間t為多少？
（2）若在棒未出磁場區域時撤去水平力F，畫出棒在整個運動過程中速度v隨位移x變化的各種可能的圖線．

Answer 1

分析：（1）根據感應電動勢、歐姆定律得到電阻R兩端的電壓與金屬棒速度v的關系式，根據R兩端的電壓U均勻增大，分析金屬棒的運動性質．U均勻增大，v均勻增大，金屬棒做勻加速運動，由運動學公式得出金屬棒勻加速運動的位移和速度與時間的關系式．撤去外力后，由題v=v₀-

B2L2

m(R+r)

?x，得到勻加速運動的末速度與減速運動位移的關系式，聯立求解t．
（2）作出棒在整個運動過程中速度v隨位移x變化的各種可能的圖線．

解答：解：（1）金屬棒運動產生的電動勢為
  E=BLv
棒和電阻R構成的回路中的電流為
  I=

E

R+r

電阻R兩端的電壓為U=IR=

BLR

R+r

v∝v
由題意知，電阻兩端電壓U隨時間均勻增大，所以v也隨時間均勻增大，棒做勻加速直線運動．則有
   x₁=

1

2

at2，v₁=at
棒受力F=0.5v+0.4和安培阻力F_A=BIL，由牛頓第二定律得：
（0.5v+0.4）-BIL=ma，
代入解得，a=0.4m/s²．
撤去外力后棒減速運動，由題設v=v₀-

B2L2

m(R+r)

?x，得
0=v₁-

B2L2

m(R+r)

?x₂，
由圖看出，全程運動有：x₁+x₂=d
將已知條件代入得：0.2t²+0.8t-1=0
解得  t=1s．
（2）速度v隨位移x變化的可能的圖線有：

答：（1）水平力F作用的時間t為1s．（2）速度v隨位移x變化的可能的圖線如上圖所示．

點評：本題關鍵是分析金屬棒的運動情況，根據電壓與速度的關系進行分析，還要抓住兩個過程之間速度關系和位移關系，列方程求解時間．