Question

（18分）如圖所示，質量為m₁=0.01Kg的子彈A，垂直紙筒的旋轉軸穿過高速旋轉的紙筒B且只在B上留下一個彈孔，子彈穿過B后打入質量為m₂=0.99Kg的木塊C中，并在C里面（A、C可視為質點）。木塊C放在長木板D的左端，D的質量m₃=3kg，長度為L₁=0.375m。長木板剛在光滑的水平桌面上，水平桌面的右端有一很薄的與D等高的固定擋板E，D的右端到E距離L₂=0.125m，D碰到即被粘牢，C則離開D飛到桌面下方的水平地面上。已知紙筒直徑d=30cm，紙筒勻速旋轉的角速度，C與D之間的動摩擦因素，木板D的上表面距離地面高H=5m，子彈穿過紙筒的過程中所受的摩擦力和空氣阻力忽略不計，取g=10m/s²。求：
（1）若發生子彈的槍有兩個檔位，可以發射兩種初速度不同的子彈，為了讓子彈穿過紙筒的時間盡可能短，子彈兩個檔位的速度大小分別是多少？
（2）在（1）問中，討論子彈打入C后，整體能否與D達到共同速度，并求出AC整體能與D達到共速情況下AC整體落到地面上距桌邊的距離。

Answer 1

（1）300m/s ；100m/s（2）0.25m。

試題分析：（1）依題意，槍由兩個檔位，且穿過紙筒后只留下一個彈孔，要增大穿過紙筒的時間盡可能的短，紙筒轉過的角度應滿足：α=（2n+1）π，式中n取0和1
子彈穿過紙筒的時間為：
則子彈的速度為：…①
把n=0，1分別代入①式得子彈的速度分別為：
v₁=300m/s   v₂=100m/s
（2）設子彈擊中木塊C并留住其中的共同速度為v₁₁，由動量守恒定律得：
m₁v=（m₁+m₂）v₁₁…②
假設AC能夠與D到達共同的速度v₂₂，由動量守恒定律得：
（m₁+m₂）v₁₁=（m₁+m₂+m₃）v₂₂… ③
設此過程中AC相對于D滑動的位移是s₁，由能量守恒定律得：
… ④
聯立②③④得：…⑤
討論：Ⅰ當v=v₁=300m/s時，代入⑤式得：s₁=3.375m＞L₁
說明此種情況下AC與D不能共速．
Ⅱ當v=v₂=100m/s時，代入⑤式解得：s₂=0.375m=L₂
說明此種情況下AC剛好沒有滑離D．
設此過程中D對桌面的位移是S ₂，由動能定理得： …⑥
聯立②③⑥式．并代入數據解得：
s₂=0.09375m＜0.125m=L₂… ⑦
由⑦式知，AC整體剛好滑到D的右端時，還沒有與E碰撞，說明此種情況下AC能與D共速，
當D與E碰撞并粘牢后，AC整體做平拋運動，設落到水平地面上的距離為s，由運動學的知識：
平拋運動的時間：
位移：s=v₂₂?t=0.25×1m=0.25m