Question

（25分）宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內做圓周運動，飛行器的質量比小行星的質量小得很多，飛行器的速率為，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍．有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽系，于是他便設計了如下方案：Ⅰ. 當飛行器在其圓周軌道的適當位置時，突然點燃飛行器上的噴氣發動機，經過極短時間后立即關閉發動機，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；Ⅱ. 飛行器到達小行星的軌道時正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計燃燒的燃料質量．

    1．試通過計算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系；

    2．設在上述方案中，飛行器從發動機取得的能量為．如果不采取上述方案而是令飛行器在圓軌道上突然點燃噴氣發動機，經過極短時間后立即關閉發動機，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開圓軌道后能直接飛出太陽系．采用這種辦法時，飛行器從發動機取得的能量的最小值用表示，問為多少?

Answer 1

解析：

1．設太陽的質量為，飛行器的質量為，飛行器繞太陽做圓周運動的軌道半徑為．根據所設計的方案，可知飛行器是從其原來的圓軌道上某處出發，沿著半個橢圓軌道到達小行星軌道上的，該橢圓既與飛行器原來的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切．要使飛行器沿此橢圓軌道運動，應點燃發動機使飛行器的速度在極短的時間內，由變為某一值．設飛行器沿橢圓軌道到達小行星軌道時的速度為，因大小為和的這兩個速度的方向都與橢圓的長軸垂直，由開普勒第二定律可得

                                          （1）

由能量關系，有

                     （2）

由牛頓萬有引力定律，有

或

                                         （3）

解（1）、（2）、（3）三式得

                                          （4）

                                           （5）

設小行星繞太陽運動的速度為，小行星的質量，由牛頓萬有引力定律

得                                     （6）

可以看出                                         （7）

由此可見，只要選擇好飛行器在圓軌道上合適的位置離開圓軌道，使得它到達小行星軌道處時，小行星的前緣也正好運動到該處，則飛行器就能被小行星撞擊．可以把小行星看做是相對靜止的，飛行器以相對速度為射向小行星，由于小行星的質量比飛行器的質量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速率彈回，即碰撞后，飛行器相對小行星的速度的大小為，方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對太陽的速度

或將（5）、（6）式代入得

                                  （8）

如果飛行器能從小行星的軌道上直接飛出太陽系，它應具有的最小速度為，則有

得                                   （9）

可以看出

                     （10）

飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽系．

2. 為使飛行器能進入橢圓軌道，發動機應使飛行器的速度由增加到，飛行器從發動機取得的能量

         （11）

若飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽系，飛行器應具有的最小速度為，則有

      

由此得                                 （12）

飛行器的速度由增加到，應從發動機獲取的能量為

                            （13）

所以

                                   （14）

評分標準：本題25分

1. 18分。其中（5）式6分，求得（6）式，說明飛行器能被小行星碰撞給3分；（8）式5分；得到（10）式，說明飛行器被小行星碰撞后能飛出太陽系給4分。

2. 7分。其中（11）式3分，（13）式3分，求得（14）式再給1分。