Question

宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內作圓周運動，飛行器的質量比小行星的質量小得多，飛行器的速率為v₀，小行星的軌道半徑為飛行器的軌道半徑的6倍，有人企圖借助小行星與飛行器的碰撞使飛行器飛出太陽系，于是他便設計了如下方案:Ⅰ.當飛行器在其圓周軌道的適當位置時，突然點燃飛行器上的噴氣發動機，使飛行器獲得所需速度，沿圓周軌道的切線方向離開軌道.Ⅱ.飛行器到達小行星的軌道時正好位于小行星的前緣，速度的方向與小行星在該處的速度方向相同，正好可被小行星碰撞.Ⅲ.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計燃燒的燃料質量.(1)通過計算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系.(2)設在上述方案中，飛行器從發動機獲得的能量為E₁，如果不采取上述方案而是令飛行器在圓軌道上突然點燃發動機，經過極短時間后立即關閉發動機，于是飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開軌道后直接飛出太陽系，采

用這種方法時，飛行器從發動機獲取的能量的最小值用E₂表示，問為多少?(第十七屆全國中學生物理競賽復賽試題)

Answer 1

(1)略(2)0.71(提示:設通過方案I使飛行器的速度由v₀變成u₀，飛行器到達小行星軌道時的速度為u，根據開普勒第二定律、能量守恒關系以及萬有引力定律和牛頓第二定律，可以用v₀表示u₀和u；再設小行星運行速度為V，運用萬有引力提供向心力，可用v₀，表示V；再根據碰撞規律用v₀表示出飛行器與小行星碰后的速度u₁；再根據能量守恒算出飛行器從小行星的軌道上飛出太陽系應具有的最小速度u₂；最終得u₂<u₁)