Question

電磁爐專用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成．起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導電環．導電環所用的材料單位長度的電阻R=0.125πΩ/m，從中心向外第n個同心圓環的半徑為r_n=（2n-1）r₁（n為正整數且n≤7），已知r₁=1.0cm．當電磁爐開啟后，能產生垂直于鍋底方向的變化磁場，已知該磁場的磁感應強度B的變化率為

△B

△t

=100

2

πsinωt，忽略同心導電圓環感應電流之間的相互影響．
（1）求出半徑為r_n的導電圓環中產生的感應電動勢瞬時表達式；
（2））半徑為r₁的導電圓環中感應電流的最大值I_1m是多大？（計算中可取π²=10 ）
（3）若不計其他損失，所有導電圓環的總功率P是多大？

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律，即可確定感應電動勢瞬時表達式；
（2）根據感應電動勢的最大值，結合閉合電路歐姆定律，即可求解；
（3）根據最大值與有效值的關系，并結合電功率的表達式，從而可求解．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律，
半徑為r_n的導電圓環中產生的感應電動勢瞬時表達式為
En=

△φ

△t

=S

△B

△t

=100

2

π2(2n-1)2r12sinωt．
（2）第一個環中的感應電動勢的最大值為En=

△φ

△t

=S

△B

△t

=100

2

π2(2n-1)2r12sinωt
第一環的電阻R1=0.125π×2πr1=0.25π2r1
故第一環中電流的最大值為I1m=

E1m

R1

=400

2

r1=4

2

A．   
（3）第n環中感應電動勢的最大值為Enm=100

2

π2rn2
第n環的電阻為Rn=0.125π×2πrn═0.25π2rn，
第n環中電流的最大值為Inm=

Enm

Rn

=400

2

rn
第n環中電流的有效值為I_n=400r_n    
第n環中電功率為Pn=In2Rn=4×104π2rn3=4×105rn3
所有導電圓環的總功率為P=4×105(r13+r23+…+rn3)
代入數據得：P=4×10⁵×（1³+3³+…+13³）×0.01³≈1.9×10³W
答：（1）求出半徑為r_n的導電圓環中產生的感應電動勢瞬時表達式E_n=100

2

π2(2n-1)2

r

2 1

sinωt；
（2））半徑為r₁的導電圓環中感應電流的最大值I_1m是4

2

A．
（3）若不計其他損失，所有導電圓環的總功率P是1.9×10³W．

點評：考查法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律的應用，掌握交流電的最大值與有效值的關系，理解電功率的表達式的運用．