Question

電磁爐專用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成.起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導電環.導電環所用的材料單位長度的電阻R＝0.125π Ω/m，從中心向外第n個同心圓環的半徑為r_n＝（2n-1）r₁（n為正整數且n≤7），已知r₁=1.0 cm.當電磁爐開啟后，能產生垂直于鍋底方向的變化磁場，已知該磁場的磁感應強度B的變化率為，忽略同心導電圓環電流之間的相互影響.

（1）求出半徑為r_n的導電圓環中產生的感應電動勢瞬時表達式；

（2）半徑為r₁的導電圓環中感應電流的最大值I₁m是多大？（計算中可取π²=10）

（3）若不計其他損失，所有導電圓環的總功率P是多大？

Answer 1

（1）E_n=100π²(2n-1)²r₁²sinωt  (2)4 A  (3)1.9×10³ W

解析:

（1）根據法拉第電磁感應定律，半徑為r_n的導電圓環中產生的感應電動勢瞬時表達式為E_n=π²(2n-1)²r₁²sinωt．

（2）第一個環中的感應電動勢的最大值為E_1m=100π²r₁²，第一個環的電阻R₁=0.125π×2πr₁，故第一個環中電流的最大值為I_1m==400r₁=A．

（3）第n環中的感應電動勢的最大值為E_nm=100π²r_n²，第n環的電阻R_n=0.125π×2πr_n，故第n環中電流的最大值為I_nm=．

第n環中電流的有效值I_n=I_n²R_n=4×10⁴π²r_n³=4×10⁵r_n³，所有導電圓環的總功率為

P=4×10⁵(r₁³+r₂³+r₃³+…+r_n³)=4×10⁵×(1³+2³+3³+…+13³)×0.01³≈1.9×10³ W．