Question

（2013?許昌三模）如圖所示，兩條足夠長的平行光滑金屬導軌豎直固定放置，導軌電阻不計，其間距為L=2m．在兩導軌之間有磁感應強度為B=0.5T的勻強磁場，其方向垂直導軌所在的豎直面水平向外．金屬棒ab的質量為m₁=2kg，金屬棒cd的質量為m₂=1kg，ab和cd都與導軌垂直放置，且其長度剛好都和導軌寬度相同，ab和cd的電阻之和為R=1Ω．開始時使ab和cd都靜止．當ab棒在豎直面向上的外力作用下，以加速度大小為a₁=1m/s²沿兩導軌所在的豎直面向上開始做勻加速運動的同時，cd棒也由靜止釋放．ab棒和cd棒在運動過程中始終和導軌垂直，且和導軌接觸良好．重力加速度為g=10m/s²．試求：
（1）當cd棒沿兩導軌所在的豎直面向下運動的加速度大小為a₂=2m/s²時，作用在ab棒上的外力大小和回路中的總電功率；
（2）當cd棒沿兩導軌所在的豎直面向下運動的速度最大時，作用在ab棒上的外力大小和回路中的總電功率．

Answer 1

分析：（1）金屬棒的加速度為重力安培力合力產生，而安培力為F=BIL=B×

BLv

R

×L，本題中，總感應電動勢為兩棒產生感應電動勢的和，回路中的總電功率等于安培力的功率之和
（2）當cd棒沿兩導軌所在的豎直面向下運動的速度最大時，加速度為零，合力為零，重力等于安培力

解答：解：（1）當cd棒的加速度為a₂時，設此時ab和cd的速度分別為v₁和v₂，作用在ab上的外力為F₁，回路的總電功率為P₁．
對ab：F₁-m₁g-

B2L2(v1+v2)

R

=m₁a₁           
對cd：m₂g-

B2L2(v1+v2)

R

=m₂a₂           
對整個回路：P₁=

B2L2(v1+v2)2

R

聯立以上各式解得：v₁+v₂=8m/s，F₁=30N，P₁=64W   
（2）當cd棒的速度最大時，設ab和cd的速度大小分別為v₁′和v₂′，作用在ab上的外力為F₂，回路的總電功率為P₂．
對ab：F₂-m₁g-

B2L2( v / 1 + v / 2 )

R

=m₁a₁                 
對cd：m₂g=

B2L2( v / 1 + v / 2 )

R

對整個回路：P₂=

B2L2( v / 1 + v / 2 )2

R

聯立以上各式解得：v₁′+v₂′=10m/s，F₂=32N，P₂=100W  
答：（1）作用在ab棒上的外力為30N，回路中的總電功率64W
（2）當cd棒沿兩導軌所在的豎直面向下運動的速度最大時，作用在ab棒上的外力32N回路中的總電功率100W．

點評：本題是電磁感應與牛頓定律的綜合應用，難度較大，第一問中巧妙應用感應電動勢為兩棒產生感應電動勢的和，回路中的總電功率等于安培力的功率之和；能夠分析出速度最大時加速度為零，合力恰好為零