Question

一宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質量M，做如下實驗，取一根細線穿過光滑的細直管，細線一端栓一質量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計上，手握細直管掄動砝碼，使它在豎直平面內做完整的圓周運動．停止掄動細直管，砝碼可繼續在同一豎直平面做完整的圓周運動．如圖所示，觀察測力計得到，當砝碼運動到圓周的最低點時，測力計的讀數為F₁；當砝碼運動到圓周的最高點時，測力計的讀數為F₂．已知引力常量為G，試根據題中提供的條件和測量結果，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的質量M；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）對砝碼受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大小；
（2）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質量；
（3）根據重力作為向心力，由向心力的公式可以求得星球的第一宇宙速度．
解答：解：（1）設砝碼在最高點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁+mg=m     ①
設砝碼在最低點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂-mg=m       ②
由機械能守恒定律得
  mg2r+mV₁²=mV₂²  ③
由①、②、③解得
  g=    ④
（2）在星球表面，萬有引力近似等于重力
  G=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M= 
（3）由mg=m，
得 V==，
答：（1）該星球表面的重力加速度是 ；
（2）該星球的質量M是 ；
（3）該星球的第一宇宙速度是．
點評：根據砝碼做圓周運動時在最高點和最低點的運動規律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．