Question

【題目】假定月球繞地球作圓周運動，地球繞太陽也作圓周運動，且軌道都在同一平面內。已知地球表面處的重力加速度g=9.80m/s2，地球半徑R0=6.37×106m，月球質量mm=7.3×1022kg，月球半徑Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×1011N·m2/kg2，月心地心間的距離約為rem=3.84×108m

(i)月球的球心繞地球的球心運動一周需多少天？

(ii)地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？

(iii)若忽略月球繞地球的運動，設想從地球表面發射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達月球表面時的速度至少為多少（結果要求兩位數字）？

Answer 1

【答案】(i) 27.4天 (ii) 29.6天 (iii) 2.3×103m/s

【解析】

(i)月球在地球引力作用下繞地心作圓周運動，設地球的質量為me，月球繞地心作圓周運動的角速度為ωm，由萬有引力定律和牛頓定律有

(1)

另

(2)

月球繞地球一周的時間

(3)

解(1)、(2)、(3)三式得

(4)

代入有關數據得Tm=2.37×106s=27.4天 (5)

(ii)滿月是當月球、地球、太陽成一條直線時才有的，此時地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置。當第二個滿月時，由于地球繞太陽的運動，地球的位置已運動到A'。若以T'm表示相繼兩次滿月經歷的時間，ωe表示地球繞太陽運動的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有

ωmT'm=2π+ωeT'm (6)

(7)

(8)

式中Te為地球繞太陽運動的周期，Te=365天。由(6)、(7)、(8)三式得

(9)

注意到(5)式，得T'm=29.6天 (10)

(iii)從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。當火箭離地球較近時，地球的引力大于月球的引力；當離月球較近時，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的連線，設在地月間某一點O處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以r表示O點到月球中心的距離，則有

(11)

式中m是火箭的質量。由(11)式得

(12)

解(12)式，注意到(2)式，代入有關數據，得r=3.8×107m (13)

從地球表面發射直接射向月球的火箭只要能到達O點，則過O點后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達月球，這樣發射時火箭離開地面時的速度最小，它到達月球時的速度也最小。設火箭剛到達月球時的最小速度為v，則由機械能守恒定律有

(14)

解得

(15)

注意到(2)式，代入有關數據得v=2.3×103m/s (16)

評分標準：第(i)小問3分。求得(4)式得2分，求得(5)式得1分。第(ii)小問3分。求得(9)式得2分，求得(10)式得1分。第(iii)小問6分。(11)式2分，(14)式得2分，(16)式2分