Question

假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，若這顆衛星在距該天體表面高度為h的軌道做勻速圓周運動，周期為T，已知萬有引力常量為G，求：
（1）該天體的質量是多少？
（2）該天體的密度是多少？
（3）該天體表面的重力加速度是多少？
（4）該天體的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

（1）衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：
M=

4π2(R+h)3

GT2

①
（2）天體的密度：
ρ=

M

V

=

4π2(R+h)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(R+h)3

GT2R3

；
（3）在天體表面，重力等于萬有引力，故：
mg=G

Mm

R2

②
聯立①②解得：
g=

4π2(R+h)3

R2T2

③
（4）該天體的第一宇宙速度是近地衛星的環繞速度，根據牛頓第二定律，有：
mg=m

v2

R

④
聯立③④解得：
v=

gR

=

4π2(R+h)3 RT2

；
答：（1）該天體的質量是

4π2(R+h)3

GT2

；
（2）該天體的密度是

3π(R+h)3

GT2R3

；
（3）該天體表面的重力加速度是多

4π2(R+h)3

R2T2

；
（4）該天體的第一宇宙速度是

4π2(R+h)3 RT2

．