Question

如圖1所示，紙面表示豎直平面，過P點的豎直線MN左側空間存在水平向右的勻強電場，右側存在豎直向上的勻強電場，兩個電場的電場強度大小相等．一個質量為m、帶電量為+q的小球從O點開始以豎直向上的速度v拋出，恰能水平地通過P點，到達P點時的速度大小仍為v．從小球到達P點時起，在空間施加一個垂直紙面向外的周期性變化的磁場，磁感應強度隨時間變化的圖象如圖2所示（其中t₁、t₂為未知的量，），同時將P點左側的電場保持大小不變而方向改為豎直向上，經過一段時間又后，小球恰能豎直向上經過Q點，已知P、Q點處在同一水平面上，間距為L．（重力加速度為g）

（1）求OP間的距離；
（2）如果磁感應強度B為已知量，試寫出t₁的表達式；（用題中所給的物理量的符號表示）
（3）如果小球從通過P點后便始終能在電場所在空間做周期性運動，但電場存在理想的右邊界M'N'（即M'N'的右側不存在電場），且Q點到M'N'的距離為．當小球運動的周期最大時：
a．求此時的磁感應強度B及小球運動的最大周期T；
b．畫出小球運動一個周期的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球由O到P運動過程中，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻加速直線運動，用平均速度表示兩個分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP間運動過程，由牛頓第二定律和運動學規律分析得到電場力qE=mg，則知小球通過P點后，在0～t₁時間內沿水平方向做勻速直線運動，在t₁～（t₁+t₂）時間內做勻速率圓周運動．小球恰能豎直向上經過Q點，畫出軌跡，可知：，可求出t₁的表達式．
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T也增加，在小球不飛出電場的情況下，當小球運動的周期T最大時，圖1中圓軌跡右側恰好跟M'N'相切，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑，即可求解磁感應強度B及周期．
解答：解：（1）小球由O到P運動過程中，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻加速直線運動，令運動時間為t，由運動學規律有 
水平位移 
豎直位移 
所求OP間距離
（2）設電場強度的大小為E，考慮小球在OP間運動過程，由牛頓第二定律和運動學規律豎直方向：0=v-gt
水平方向：v=at
         a=
可得：qE=mg
上式表明，小球通過P點后，在0～t₁時間內沿水平方向做勻速直線運動，在t₁～（t₁+t₂）時間內做勻速率圓周運動．
設小球在磁場中做圓周運動的周期為T，若豎直向上通過Q點，由圖（1）問分析可知必有以下兩個條件：
 
  vt₁-L=R，
其中R為圓周運動的軌道半徑．
由牛頓第二定律和圓周運動規律有：
 
解得：
（3）a．小球運動的速率始終不變，當R變大時，T也增加，在小球不飛出電場的情況下，當小球運動的周期T最大時，圖1中圓軌跡右側恰好跟M'N'相切，為使小球從通過P點后能做周期性運動，需滿足t₁=t₂．
有：
解得：
而
可知小球在電場中運動的最大周期：
b．答圖如圖2所示

答：
（1）OP間的距離是；
（2）如果磁感應強度B為已知量，t₁的表達式是+；
（3）磁感應強度B是，小球運動的最大周期T為；
點評：本題帶電粒子在復合場中運動的問題，小球的受力情況，確定研究方法，在重力與電場和復合場中運用分解法研究，在電場、重力場和磁場的復合場中畫出軌跡，運用幾何知識是基本方法．