Question

(15分)如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環，棒和環的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k＞1)，斷開輕繩，棒和環自由下落，假設棒足夠長，與地面發生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失，棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計，求：

⑴棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環的加速度；
⑵棒與地面第二次碰撞前的瞬時速度；
⑶從斷開輕繩到棒和環都靜止，摩擦力對棒和環做的功分別是多少？

Answer 1

⑴a₁＝(k－1)g，方向豎直向上；⑵v₂＝；⑶W₁＝－mgH，W₂＝

試題分析：⑴設棒第一次反彈上升過程中，環的加速度為a₁，由于k＞1，所以kmg＞mg，由牛頓第二定律得：kmg－mg＝ma₁，解得：a₁＝(k－1)g，方向豎直向上。
⑵在下落的過程中，棒、環系統機械能守恒，且下落過程中，棒、環之間無相對滑動，設棒第一次落地的速度大小為v₁，由機械能守恒得：×－0＝2mgH－0，解得：v₁＝
當棒觸地反彈時，環將繼續下落，棒、環之間存在相對滑動，設此時棒的加速度為a₂，由牛頓第二定律得：mg＋kmg＝ma₂，解得：a₂＝(k＋1)g，方向豎直向下，即棒減速上升
環與棒將在空中達到相同速度v，有：v＝v₁－a₁t＝－v₁＋a₂t
解得：v＝
設此時棒上升的高度為h₁，有：v²－v₁²＝－2a₂h₁
此后，棒和環一起下落，設與地面碰撞前瞬間速度為v₂，有：v₂²－v²＝2gh₁
解得：v₂＝＝
⑶設摩擦力對棒和環做的功分別為W₁和W₂，整個過程中環與棒的相對位移為l
對棒有：mgH＋W₁＝0
對環有：mg(H＋l)＋W₂＝0
對系統有：kmgl＝mg(H＋l)＋mgH
解得：W₁＝－mgH，W₂＝