Question

【題目】如圖，電容為 C 的電容器通過單刀雙擲開關 S 左邊與一可變電動勢的直流電源相連，右邊與兩根間距為 L 的光滑水平金屬導軌 M1M2P1P2、N1N2Q1Q2 相連（M1 處左側有一小段光滑絕緣材料隔開且各部分平滑連接）。水平導軌存在兩個磁感應強度大小均為 B 的勻強磁場區域， 其中區域 I 方向豎直向上，區域Ⅱ豎直向下，虛線間的寬度都為 d，兩區域相隔的距離足夠大。有兩根電阻均為 R 的金屬棒 a 和 b 與導軌垂直放置，金屬棒 a 質量為 m，金屬棒 b 質量為 3m，b 棒置于磁場Ⅱ的中間位置 EF 處，并用絕緣細線系住，細線能承受的最大拉力為 F0。現將 S 擲向“1”，經足夠時間后再擲向“2”，已知在 a 棒到達小段絕緣材料前已經勻速運動。

（1）當 a 棒滑過絕緣材料后，若要使 b 棒在導軌上保持靜止，則電源電動勢應小于某一值E0。求 E0 的大小。

（2）若電源電動勢小于 E0，使 a 棒以速度 v1(v1 為已知量)滑過絕緣材料，求 a 棒通過虛線 M1N1 和 M2N2 的過程中，a 棒產生的焦耳熱。

（3）若電源電動勢大于 E0，使 a 棒以速度 v2(v2 為已知量)滑過絕緣材料，從 a 棒剛好滑過絕緣材料開始計時，經過 t0 后滑過虛線 M2N2 位置，此時 a 棒的速度為v2

求 t0 時刻金屬棒 b 的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）因為a棒滑過絕緣材料后減速運動，所以只要a棒剛滑過絕緣材料時b棒不動，b就可以靜止不動，由題意得：
S擲向“1”，電容器充電后電壓為U1，則

U1=E0，

S擲向“2”，a棒加速到勻速運動時，設a棒速度為v，電容器電壓為U2，則

U2=BLv

a棒加速過程，根據動量定理

電容器放電

a棒滑過絕緣材料后，回路電動勢

BLv=2IR

b棒

BIL=F0

聯立解得

；

（2）電源電動勢小于E0，則b棒保持靜止。設a棒出磁場Ⅰ時的速度為v
對a棒通過虛線M1N1M2N2過程中，根據動量定理得：

電荷量

聯立得

根據能量守恒，a棒產生的焦耳熱

聯立得

（3）電源電動勢大于E0，a棒滑過絕緣材料后，瞬時細線被拉斷，b棒開始運動。a棒通過虛線M1N1M2N2過程中，設b棒不能出磁場區域Ⅱ。

經分析得：a、b兩棒的動量變化量大小相同，則：

解得

因為

所以

即b棒不能出磁場區域Ⅱ，則