Question

（20分）如圖所示，光滑絕緣水平面的上方空間被豎直的分界面MN分隔成兩部分，左側空間有一水平向右的勻強電場，場強大小，右側空間有長為R＝0.114m的絕緣輕繩，繩的一端固定于O點，另一端拴一個質量為m小球B在豎直面內沿順時針方向做圓周運動，運動到最低點時速度大小v_B＝10m/s（小球B在最低點時與地面接觸但無彈力）。在MN左側水平面上有一質量也為m，帶電量為的小球A，某時刻在距MN平面L位置由靜止釋放，恰能與運動到最低點的B球發生正碰，并瞬間粘合成一個整體C。（取g＝10m/s²）

（1）如果L＝0.2m，求整體C運動到最高點時的速率。（結果保留1位小數）
（2）在（1）條件下，整體C在最高點時受到細繩的拉力是小球B重力的多少倍？（結果取整數）
（3）若碰后瞬間在MN的右側空間立即加上一水平向左的勻強電場，場強大小，當L滿足什么條件時，整體C可在豎直面內做完整的圓周運動。（結果保留1位小數）

Answer 1

（1） （2）18倍   （3）或

試題分析：（1）對球，從靜止到碰的過程由動能定理：  
解得：             （2分）
、碰撞由動量守恒，有：   
解得共同速度：，方向向左            （2分）
設整體C在最高點速度為，由機械能守恒：

           (2分)
（2）由牛頓第二定律，在圓周運動最高點：   
解得受到的拉力：    即為小球B重力的18倍。  （2分）
（3）MN右側空間加上一水平向左的勻強電場后，整體C受到重力和電場力的合力為：，     (1分)
設合力方向與豎直方向間的夾角為，合力作為等效重力，如圖，則有
，所以，         (1分)

P和Q即為等效的最低點和最高點
整體C做完整圓周運動的條件是：在Q點即等效最高點繩的拉力滿足：
設此時整體C在Q點的速度為，
即：   得：       （2分）
設整體C在最低點的速度大小為v₁，由動能定理：

                  （2分）
、碰撞由動量守恒，有：      （1分）
若碰后整體C方向向左，取最小，得： 
由 得：          （2分）
若碰后整體C方向向右，取最小 得： 
由 得：          （2分）
所以，滿足的條件是：或     （1分）