Question

如圖為一種新型吊運設備的簡化模型示意圖，圖中虛線框里是滑輪組（未畫出），滑輪組繩子的自由端由電動機拉動．工人師傅用該吊運設備先后搬運水平地面上的圓柱形物體A和物體B．物體A的底面積為S_A，密度為ρ_A，高度為h₁；物體B的底面積為S_B，密度為ρ_B，高度為h₂．當物體A所受豎直向上拉力為1500N時，物體A靜止，地面對物體A的支持力為N₁，掛在滑輪組掛勾上的物體A勻速豎直上升4m的過程中，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力為F₁，拉力F₁做的功為W．當物體B所受豎直向上的拉力T₂為1000N時，物體B靜止，地面對物體B的支持力為N₂．掛在滑輪組掛鉤上的物體B以速度v勻速豎直上升的過程中，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力F₂為625N，拉力F₂做功的功率P為500W，滑輪組的機械效率為80%．已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦．求：
（1）物體B勻速上升的速度v；
（2）拉力F₁做的功W．

Answer 1

（1）物體A和物體B在豎直方向受三個力的作用，豎直向上的拉力和支持力，豎直向下的重力．如圖所示：
因為8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，5S_A=4S_B
所以G_A：G_B=7：4
T₁+N₁=G_A①
T₂+N₂=G_B ②
F1=

1

n

(GA+G動)，③
F2=

1

n

(GB+G動)，④
解得：

N1

N2

=

GA-T1

GB-T2

=

1

2

，
其中：
G_A=3500N，G_B=2000N．
第二狀態：
η=

W有

W總

=

GB

nF2

=80%，
解得：
n=4，
由③④得：
G_動=500N，
F₁=1000N，
由：
P=Fnv，
解得：
v=

P

Fn

=0.2m/s．
（2）物體A上升的高度為：h=4m，
則繩子自由端移動的距離為：s=4h=4×4m=16m，
拉力F₁做的功為：
W1=F1×s=1.6×104J．
答：（1）物體B勻速上升的速度v為0.2m/s．（2）拉力F₁做的功W為1.6×10⁴J．