Question

如圖所示，兩根金屬平行導軌MN和PQ放在水平面上，左端向上彎曲且光滑，導軌間距為L，電阻不計．水平段導軌所處空間有兩個有界勻強磁場，相距一段距離不重疊，磁場Ⅰ左邊界在水平段導軌的最左端，磁感強度大小為B，方向豎直向上；磁場Ⅱ的磁感應強度大小為2B，方向豎直向下．質量均為m、電阻均為R的金屬棒a和b垂直導軌放置在其上，金屬棒b置于磁場Ⅱ的右邊界CD處．現將金屬棒a從彎曲導軌上某一高處由靜止釋放，使其沿導軌運動．設兩金屬棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好．

（1）若水平段導軌粗糙，兩金屬棒與水平段導軌間的最大摩擦力均為

1

5

mg，將金屬棒a從距水平面高度h處由靜止釋放．求：?金屬棒a剛進入磁場Ⅰ時，通過金屬棒b的電流大小；?若金屬棒a在磁場Ⅰ內運動過程中，金屬棒b能在導軌上保持靜止，通過計算分析金屬棒a釋放時的高度h應滿足的條件；
（2）若水平段導軌是光滑的，將金屬棒a仍從高度h處由靜止釋放，使其進入磁場Ⅰ．設兩磁場區域足夠大，求金屬棒a在磁場Ⅰ內運動過程中，金屬棒b中可能產生焦耳熱的最大值．

Answer 1

（1）①金屬棒在彎曲光滑導軌上運動的過程中，機械能守恒，設其剛進入磁場Ⅰ時速度為v₀，產生的感應電動勢為E，電路中的電流為I．　　
由機械能守恒mgh=

1

2

m

v

20

，解得v₀=

2gh

　　感應電動勢E=BLv₀，對回路有：I=

E

2R

　　解得：I=

BL 2gh

2R

　　②對金屬棒b：所受安培力F=2BIL
　　又因 I=

BL 2gh

2R

　　
金屬棒b棒保持靜止的條件為F≤

1

5

mg
　　解得 h≤

gm2R2

50B4L4

　　（2）金屬棒a在磁場Ⅰ中減速運動，感應電動勢逐漸減小，金屬棒b在磁場Ⅱ中加速運動，感應電動勢逐漸增加，當兩者相等時，回路中感應電流為0，此后金屬棒a、b都做勻速運動．設金屬棒a、b最終的速度大小分別為v₁、v₂，整個過程中安培力對金屬棒a、b的沖量大小分別為I_a、I_b．
　　由BLv₁=2BLv₂，解得v₁=2v₂
　　設向右為正方向：
對金屬棒a，由動量定理有-I_a=mv₁-mv₀
　　 對金屬棒b，由動量定理有-I_b=-mv₂-0
　　由于金屬棒a、b在運動過程中電流始終相等，則金屬棒a受到的安培力始終為金屬棒b受到安培力的2倍，因此有兩金屬棒受到的沖量的大小關系　I_b=2I_a
　　解得v₁=

4

5

v0，v₂=

2

5

v0
　　根據能量守恒，回路中產生的焦耳熱Q=

1

2

m

v

20

-

1

2

[

1

2

m(

2

5

v0)2+

1

2

m(

4

5

v0)2]=

1

10

m

v

20

=

1

5

mgh
　　Q_b=

1

10

mgh
答：（1）金屬棒a剛進入磁場Ⅰ時，通過金屬棒b的電流大小是

BL 2gh

2R

；?若金屬棒a在磁場Ⅰ內運動過程中，金屬棒b能在導軌上保持靜止，金屬棒a釋放時的高度h應滿足的條件是h≤

gm2R2

50B4L4

；
（2）金屬棒a在磁場Ⅰ內運動過程中，金屬棒b中可能產生焦耳熱的最大值是

1

10

mgh．