Question

如圖（甲）所示，足夠長、電阻可以忽略的矩形金屬框架abcd水平放置，ad與bc之間的距離為L=1m，左右兩側各連接一個定值電阻，阻值R₁=R₂=2.0Ω．垂直于框架固定一根質量m=0.2kg、電阻r=1.0Ω的金屬棒ef，棒ef距離框架左側s=0.5m．

（1）若在abfe區域存在豎直向上的均勻增強的勻強磁場，磁感應強度變化率

△B

△t

=0.2T/s，求電阻R₁消耗的電功率．
（2）若金屬棒ef處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度B=2.0T，ef與導軌間的動摩擦因數μ=0.5．現使磁場以加速度a=5m/s²由靜止開始向右勻加速運動，同時釋放導體棒ef，則需要經過多長時間導體棒ef開始運動？（最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，ef始終處于磁場中）
（3）上問中，從磁場開始運動計時起，在0～2s的時間內導體棒運動了7.5m的距離，電路中產生的焦耳熱為2.9J（2s前導體棒運動狀態已經穩定）．求此過程中，運動磁場給系統提供的能量，并在圖（乙）中定性畫出導體棒的速度-時間圖象．

Answer 1

（1）abfe回路產生的感應電動勢為：
E=

△Φ

△t

=

△B

△t

Ls=0.2×1×0.5V=0.1V
總電阻為：R_總=R₁+

R2r

R2+r

=2+

2×1

2+1

=

8

3

Ω，
經過R₁的電流為：I₁=

E

R總

=

0.1

8 3

A=

3

80

A=0.0375A
電阻R₁消耗的電功率為：P₁=I₁²R₁=0.0375²×2W=2.8×10^-3W
（2）導體棒ef剛要開始運動時，安培力與最大靜摩擦力大小相等，即：BI_efL=μmg
啟動電流：I_ef=

μmg

BL

=

0.5×0.2×10

2×1

A=0.5A
總電阻為：R_總′=r+

R1R2

R1+R2

=1+

2×2

2+2

=2Ω
此時電動勢為：E′=I_efR_總′=0.5×2V=1V
而：E′=BLv₁=BLat₁，
解得：t₁=

E′

BLa

=

1

2×1×5

s=0.1s
（3）ef棒開始運動后，水平方向受到兩個力的作用，根據牛頓第二定律：
BIL-μmg=ma_ef
即

B2L2

R′總

（at-v_磁）-μmg=ma_ef
因此，棒開始運動后，做加速度增大的加速運動，
當a_ef=a=5m/s后運動狀態穩定，磁場、ef棒的速度差值△v保持穩定，
△v=

(μmg+ma)R′總

B2L2

=

(0.5×0.2×10+0.2×5)×2

22×12

m/s=1m/s
2s時ef棒的速度為：v_ef=at-△v=5×2-1=9m/s
ef棒獲得動能為：△E_k=

1

2

mv_ef²=

1

2

×0.2×92J=8.1J
2s內摩擦生熱為：Q′=μmgs′=0.5×0.2×10×7.5J=7.5J
運動磁場給系統提供的能量為：E_磁=△E_k+Q_磁+Q′=8.1+2.9+7.5=18.5J
速度-時間圖象如圖所示．
答：（1）電阻R₁消耗的電功率為2.8×10^-3W．
（2）需要經過0.1s時間導體棒ef開始運動．
（3）此過程中，運動磁場給系統提供的能量為18.5J，速度-時間圖象如圖所示．