Question

（2007?廣東）土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km．忽略所有巖石顆粒間的相互作用，求：（結果可用根式表示）
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比；
（2）求巖石顆粒A和B的周期之比；
（3）土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵km處受到土星的引力為0.38N．已知地球半徑為6.4×10³km，請估算土星質量是地球質量的多少倍？

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力即可列式求解；
（2）同樣根據萬有引力提供向心力列式求解；
（3）根據萬有引力公式直接列式比較即可求解．

解答：解：（1）設土星質量為M₀，顆粒質量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，據牛頓第二定律和萬有引力定律有
                         

GM0m

r2

=

mv2

r

解得
                        v=

GM0 r

對于A、B兩顆粒分別有
                        vA=

GM0 rA

                        vB=

GM0 rB

解得
                       

vA

vB

=

6

2

故巖石顆粒A和B的線速度之比為

6

：2．
（2）設顆粒繞土星作圓周運動的周期為T，則有
                        T=

2πr

v

對于A、B兩顆粒分別有
                        TA=

2πrA

vA

                        TB=

2πrB

vB

解得
                      

TA

TB

=

2 6

9

故巖石顆粒A和B的周期之比為2

6

：9．
（3）設地球質量為M，地球半徑為r₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測器上物體質量為m₀，在地球表面重力為
G₀，距土星中心r₀′=3.2×10⁵ km處的引力為G₀′，根據萬有引力定律有
                     G0=

GMm0

r02

                     

G

/ 0

=

GM0m0

r′2

    
解得
                     

M0

M

=95
故土星質量大約是地球質量的95倍．

點評：本題是萬有引力定律得簡單應用問題，可列出表達式直接對比求解．