Question

【題目】如圖所示，一根長為L=0．2m的剛性輕繩，一端固定在O點，另一端連接一個質量為m的小球，當球自由懸掛時，球處在最低點A點，此時給球一個水平初速度v0讓它運動起來，忽略空氣阻力，重力加速度。

（1）要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，求v0滿足的條件；

（2）若小球在A點獲得的水平初速度，試確定小球能上升的最大高度。

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】試題分析：（1）要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，可以使小球做完整的圓周運動，也可以使小球上升到低于O點的高度后就下落。

①當小球剛好做完整的圓周運動時，在最高點重力提供向心力，有

從最低點到最高點，重力做負功，根據動能定理有

可得小球的初速度

②小球恰好能運動到O點等高的位置時，根據動能定理有

可得小球的初速度

由上分析可知，小球的初速度應或

（2）若小球在A點獲得的水平初速度，則小球不能上升到最高點，設小球上升到高于圓心O的某個位置時，繩子恰好要松弛，此時繩子與豎直方向夾角為，小球只受重力，速度為。

重力沿半徑方向的分力提供向心力，有

由幾何關系可知，此過程小球上升高度

根據動能定理有

解得：此時小球速度，

此后小球以速度做斜拋運動，在最高點時豎直方向速度為零，水平方向速度為，

從最低點到最高點，根據動能定理有：

則小球上升最大高度：

或：由上可知，。此后小球以速度做斜拋運動，豎直方向速度為。上升到最高點豎直方向減為零，由可得，小球繼續上升的高度。故小球上升最大高度：。