Question

(2010年高考課標全國卷)如圖8－2－28所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內．已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的

圖8－2－28
(1)速度的大小；
(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

Answer 1

(1)(2－)　(2)

(1)設粒子的發射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB＝m①
由①式得R＝②
當a/2＜R＜a時，在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的上邊界相切，如圖所示．

設該粒子在磁場運動的時間為t，依題意t＝T/4，
得∠OCA＝③
設最后離開磁場的粒子的發射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關系可得Rsinα＝R－④
Rsinα＝a－Rcosα⑤
又sin²α＋cos²α＝1⑥
由④⑤⑥式得R＝(2－)a⑦
由②⑦得v＝(2－).
(2)由④⑦式得sin α＝.
答案：(1)(2－)　(2)