Question

“和平號”空間站已于2001年3月23日成功地墜落在南太平洋海域，墜落過程可簡化為從一個近圓軌道(可近似看作圓軌道)開始，經過與大氣摩擦，空間站的絕大部分經過升溫、熔化，最后汽化而銷毀，剩下的殘片墜入大海.此過程中，空間站原來的機械能中，除一部分用于銷毀和一部分被殘片帶走外，還有一部分能量E′通過其他方式散失(不考慮墜落過程中化學反應的能量).

(1)試導出用下列各物理量的符號表示散失能量E′的公式；

(2)算出E′的值(結果保留兩位有效數字).

墜落開始時空間站的質量M＝1.17×10⁵ kg；

軌道離地面的高度h=146 km；

地球半徑R＝6.4×10⁶ m；

墜落空間范圍內重力加速度取g＝10 m/s²；

入海殘片的質量m＝1.2×10⁴ kg；

入海殘片的溫度升高ΔT＝3 000 K；

入海殘片的入海速度為聲速v＝340 m/s；

空間站材料每1 kg升溫1 K平均所需能量c＝1.0×10³ J；

每銷毀1 kg材料平均所需能量μ＝1.0×10⁷ J.

Answer 1

(1)Mg(R+h)-(M-m)μ-mv²-cmΔT  (2)2.9×10¹²J

解析:

根據題目所給條件，從近圓軌道到地面的空間中重力加速度取g=10 m／s².若以地面為重力勢能零點，墜落過程開始時空間站在近圓軌道的勢能為E_p=Mgh①

以v表示空間站在近圓軌道上的速度，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Mg=M②

由②式可得空間站在近圓軌道上的動能為

E_k=Mg(R+h)③

由①③式得，在近圓軌道上空間站的機械能

E=Mg(h)④

在墜落過程中，用于一部分銷毀所需的能量為

Q_汽=(M-m)μ⑤

用于殘片升溫所需的能量Q_殘=cmΔT⑥

殘片入海時的動能為E_殘=mv²⑦

以E′表示其他方式散失的能量，則由能量守恒定律得E=Q_汽+E_殘+Q_殘+E′⑧

將④⑤⑥⑦式代入⑧式整理得

E′=Mg(R+h)-(M-m)μ-mv²-cmΔT.⑨

(2)將題目所給數據代入⑨式解得E′=2.9×10¹²J.