Question

(15分) 如圖所示，有一個可視為質點的質量為m＝1 kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀＝3 m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M＝3 kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑接觸，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ＝0.3，圓弧軌道的半徑為R＝0.5 m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ＝53°，不計空氣阻力，取重力加速度g＝10 m/s².求：

(1)A、C兩點的高度差；
(2)小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
(3)要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)

Answer 1

　(1)0.8 m　(2)68 N　(3)3.625 m

試題分析：(1)小物塊在C點時的速度大小為
v_C＝＝5 m/s  （2分） ，豎直分量為v_Cy＝4 m/s   （1分）
下落高度           （2分）
(2)小物塊由C到D的過程中，由動能定理得mgR(1－cos 53°)＝mv－mv
解得v_D＝m/s   （2分）
小球在D點時由牛頓第二定律得F_N－mg＝m
代入數據解得F_N＝68 N       （ 2分）
由牛頓第三定律得F_N′＝F_N＝68 N，方向豎直向下  （1分）
(3)設小物塊剛好滑到木板右端時與木板達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為a₁＝μg＝3 m/s²，(1分)a₂＝＝1 m/s²   (1分)
速度分別為v＝v_D－a₁t，v＝a₂t              (1分)
對物塊和木板系統，由能量守恒定律得μmgL＝mv－(m＋M)v²                       (1分)
解得L＝3.625 m，即木板的長度至少是3.625 m        （1分）