Question

設某星球的質量為M，繞星球做勻速圓周運動的衛星質量為m，軌道半徑為r，已知萬有引力常數為G，某星球半徑為R，星球表面自由落體加速度為g．求：
（1）求衛星繞某星球運轉的周期T．（用r、M表示）
（2）若某星球的質量M是未知的，用其他已知的物理量求出某星球的質量M和某星球密度的表達式．（用g、R表示）
（3）求某星球第一宇宙速度．（用g、R表示）

Answer 1

（1）衛星繞星球做勻速圓周運動，有
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
得T=2π

r3 GM

（2）在某星球表面附近，有mg=G

Mm

R2

，得M=

gR2

G

星球的體積V=

4

3

πR3，
所以密度為ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

（3）衛星繞星球做近地運動，有G

Mm

R2

=m

v2

R

，
得v=

GM R

=

gR2 R

=

gR

答：（1）衛星繞某星球運轉的周期T為2π

r3 GM

．（2）星球的質量M為M=

gR2

G

，星球密度的表達式為ρ=

3g

4πGR

．（3）某星球第一宇宙速度為

gR

．