Question

如圖所示，兩個圓形光滑細管在豎直平面內交疊，組成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B處連接一內徑相同的粗糙水平直管AB．已知E處距地面的高度h=3.2m，一質量m=1kg的小球a從A點以速度v₀=12m/s的速度向右進入直管道，到達B點后沿“8”字形軌道向上運動，到達D點時恰好與軌道無作用力，直接進入DE管（DE管光滑），并與原來靜止于E處的質量為M=4kg的小球b發生正碰（ab均可視為質點）．已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小為碰撞前速度大小的

1

3

，而b球從E點水平拋出，其水平射程s=0.8m，（g取10m/s²）
（1）求碰后b球的速度大小？
（2）求“8”字形管道上下兩圓的半徑r和R．
（3）若小球a在管道AB中運動時所受阻力為定值，請判斷a球返回到BA管道中時能否從A端穿出？

Answer 1

（1）b球離開DE后做平拋運動：
h=

gt2

2

s=v_bt
解得 v_b=1m/s
故碰后b球的速度大小為：v_b=1m/s．
（2）ab碰撞過程，動量守恒，以水平向右為正方向：
mva=-m

va

3

+Mvb
V_a=3m/s
碰前a在D處恰好與軌道無作用力：
mg=

m v 2a

r

r=0.9m
R=

h-2r

2

=0.7m
故上半圓半徑r=0.9m，下半圓半徑R=0.7m．
（3）小球從B到D，機械能守恒：

1

2

m

v

2B

=

1

2

m

v

2a

+mgh
解得：

1

2

m

v

2B

=36.5J
從A到B過程，由動能定理得：
-Wf=

1

2

m

v

2B

-

1

2

m

v

20

解得：W_f=35.5J
從D到B，機械能守恒有：

1

2

m(

v a

3

)2+mgh=

1

2

m

v

′2B

解得：

1

2

m

v

′2B

=32.5J＜W_f
故，a球返回到BA管道中時，不能從A端穿出．