Question

一名宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質量，做了如下實驗：將一個小球從該星球表面某位置以初速度v豎直向上拋出，小球在空中運動一段時間后又落回原拋出位置，測得小球在空中運動的時間為t，已知萬有引力恒量為G，不計阻力．試根據題中所提供的條件和測量結果，求：
（1）該星球表面的“重力”加速度g的大小；
（2）該星球的質量M；
（3）如果在該星球上發射一顆圍繞該星球做勻速圓周運動的衛星，則該衛星運行的最小周期T為多大？

Answer 1

分析：（1）小球做豎直上拋運動，由運動學公式可求得該星球表面的重力加速度g；
（2）對該星球表面上的物體，由牛頓第二定律和萬有引力定律求解該星球的質量．
（3）當某個質量為m′的衛星做勻速圓周運動的半徑等于該星球的半徑R時，該衛星運行的周期T最小，則由牛頓第二定律和萬有引力定律求解．

解答：解：（1）由運動學公式得：t=

2v

g

解得該星球表面的“重力”加速度的大小    g=

2v

t

（2）質量為m的物體在該星球表面上受到的萬有引力近似等于物體受到的重力，則對該星球表面上的物體，由牛頓第二定律和萬有引力定律得：mg=G

mM

R2

解得該星球的質量為            M=

2vR2

Gt

（3）當某個質量為m′的衛星做勻速圓周運動的半徑等于該星球的半徑R時，該衛星運行的周期T最小，則由牛頓第二定律和萬有引力定律G

m′M

R2

=

4π2m′R

T2

解得該衛星運行的最小周期        T=2π

Rt 2v

答：（1）該星球表面的“重力”加速度g的大小是

2v

t

；
（2）該星球的質量M是

2vR2

Gt

；
（3）如果在該星球上發射一顆圍繞該星球做勻速圓周運動的衛星，則該衛星運行的最小周期T為是2π

Rt 2v

．

點評：重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由萬有引力提供．