Question

如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角θ=30°，一條長(zhǎng)為l的繩，一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球以角速度ω繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試分析：
（1）小球以角速度ω=

2g 3l

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子的拉力和圓錐體對(duì)小球的支持力；
（2）小球以角速度ω=2

g 3l

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子的拉力和圓錐體對(duì)小球的支持力．

Answer 1

分析：求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開(kāi)錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答：解：當(dāng)物體剛離開(kāi)錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，
由拉力與重力的合力提供向心力，則有：mgtanθ=mωo2lsinθ
解之得：ω0=

2 3 g 3l

當(dāng)小球以角速度₁=

2g 3l

＜ω₀時(shí)，則存在球受到斜面的支持力，因此由支持力、重力與拉力的合力提供向心力．
對(duì)球受力分析，如圖所示，則有
Tsinθ-Ncosθ=m

ω

2 1

lsinθ①
Tcosθ+Nsinθ=mg②
由①②聯(lián)式解之得：N=

1

2

mg-

3

6

mg，
T=

3

2

mg+

1

6

mg
當(dāng)小球以角速度ω₂=2

g 3l

＞ω₀時(shí)，則球只由重力與拉力的合力提供向心力，且細(xì)繩與豎直方向夾角已增大．
如圖所示，則有Tsinα=m

ω

2 2

lsinα①
Tcosα=mg②
由①②聯(lián)式解得：T=

4

3

mg
球離開(kāi)斜面，則有N=O
答：（1）小球以角速度ω=

2g 3l

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子的拉力

3

2

mg+

1

6

mg和圓錐體對(duì)小球的支持力(

1

2

-

3

6

)mg；
（2）小球以角速度ω=2

g 3l

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子的拉力

4

3

mg和圓錐體對(duì)小球的支持力為零．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．