Question

如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°．一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體．物體以速度v繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．（結(jié)果可保留根式）
（1）當(dāng)v1=

1 6 gL

時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力；
（2）當(dāng)v2=

3 2 gL

時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力．

Answer 1

分析：求出物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答：解：當(dāng)物體離開錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=

mv2

R

，R=Lsinθ
解得v=

3 gl 6

．
（1）v₁＜v時(shí)，有T1sinθ-N1cosθ=

mv12

R

，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得T1=

3 3 +1

6

mg．
故當(dāng)v1=

1 6 gL

時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力T1=

3 3 +1

6

mg．
（2）v₂＞v時(shí)，球離開錐面，設(shè)線與豎直方向上的夾角為α，
則T₂cosα-mg=0
T2sinα=

mv22

R2

R₂=Lsinα
解得T₂=2mg．
故當(dāng)v2=

3 2 gL

時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力T₂=2mg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．