Question

如圖所示，真空中有以O(shè)′為圓心，r為半徑的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圓的最下端與x軸相切于直角坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓的右端與平行于y軸的虛線MN相切，在虛線MN右側(cè)x軸上方足夠大的范圍內(nèi)有方向豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在坐標(biāo)系第四象限存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子在磁場(chǎng)中做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)到達(dá)x軸上的C點(diǎn)。已知質(zhì)子帶電量為+q，質(zhì)量為m，不計(jì)質(zhì)子的重力、質(zhì)子對(duì)電磁場(chǎng)的影響及質(zhì)子間的相互作用力。求：

（1）質(zhì)子剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向和大小；
（2）OC間的距離；
（3）若質(zhì)子到達(dá)C點(diǎn)后經(jīng)過第四限的磁場(chǎng)后恰好被放在x軸上D點(diǎn)處（圖上未畫出）的一檢測(cè)裝置俘獲，此后質(zhì)子將不能再返回電場(chǎng)，則CD間的距離為多少。

Answer 1

（1） 方向沿x軸正方向 （2）r+ （3）

試題分析：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
根據(jù)牛頓第二定律得qvB=
解得  
質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖，

因?yàn)閳A形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為r，質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也為r，所以四邊形是菱形，由幾何知識(shí)知，質(zhì)子剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向沿x軸正方向．
（2）質(zhì)子沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，則以N為圓心轉(zhuǎn)過圓弧后從A點(diǎn)垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)后質(zhì)子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)子電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t ， 則在y方向上有
由牛頓第二定律得   qE=ma
解得　
在x方向上，由題意可知x₁=ON=r　
電場(chǎng)中x₂=NC=v
所以O(shè)C間的距離為x=x₁+ x₂ =r+
（3）設(shè)質(zhì)子出電場(chǎng)時(shí)在豎直方向的速度為，質(zhì)子合速度為，則
質(zhì)子合速度與x軸正向夾角的正弦值為sinθ=
質(zhì)子到達(dá)C點(diǎn)后進(jìn)入第四限的磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示，設(shè)質(zhì)子在第四限磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R．

根據(jù)圓的性質(zhì)，由幾何知識(shí)得：
x₃="CD=" 2R sinθ
質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得qvB=，
運(yùn)動(dòng)半徑
以上各式聯(lián)立解得：x₃="CD=" 2==