Question

如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內且足夠長的平行光滑金屬導軌，相距為2L．左側是水平放置長為6L、間距為L的平行金屬板，且連接電阻R．金屬板右半部、ef右側區域均處在磁感應強度均為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場中．質量為M、電阻也為R的導體棒ab與導軌接觸良好．棒ab在ef左側O處受水平向右的力作用，由靜止開始向右運動，在某一時刻恰好進入ef右側區域且以速度v0勻速運動，同時從金屬上板左端邊緣水平向右射入電量為q帶負電油滴能在金屬板左半部勻速向右運動，不計其他電阻．
（1）求通過電阻R的電流I和兩端的電壓U；
（2）若要求油滴能從金屬板間飛出，求油滴射入的速率u的范圍：
（3）若棒在進入ef右側區域前，所受水平向右的力與移動的距離成正比，求力與移動距離的比值K．

Answer 1

分析：（1）根據E=BLv求出感應電動勢的大小，通過歐姆定律求出電流和電壓的大小．
（2）根據電荷勻速直線運動，通過電場力和重力平衡求出電荷質量的大小，根據帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，油滴能從金屬板間飛出，抓住兩個臨界情況，即從左側下邊緣射出和從右側下邊緣射出，求出臨界的半徑，根據洛倫茲力提供向心力求出臨界的速度．
（3）求出移動的距離x，通過動能定理求出力與移動距離的比值K．

解答：解：（1）棒產生的感應電動勢   E=2BLv₀
根據歐姆定律     I=

E

R+R

=

BLv0

R

U=IR，
U=BLv₀
（2）對油滴在金屬板左半部運動，列力平衡方程mg=q

U

L

  m=

qBv0

g

油滴進入金屬板右半部，做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心．qBu=m

u2

r

   r=

mu

qB

①最小半徑r1=

L

2

，油滴從金屬板左側飛出最大速率u1=

qBr1

m

=

gL

2v0

②最大半徑

r

2 2

=(3L)2+(r2-L)2，r₂=5L
油滴從金屬板右側飛出最小速率u2=

qBr2

m

=

5gL

v0

所以，油滴射入的速率范圍

gL

2v0

≤u≤

5gL

v0

．
（3）對棒，依題意，當ab棒到達ef時，所受的拉力等于安培力，即F=BI?2L=Kx，解得x=

BI?2L

K

由動能定理

1

2

BI2L?

BI2L

k

=

1

2

M

v

2 0

  k=

4B4L4

MR2

答：（1）通過電阻R的電流為

BLv0

R

，兩端的電壓為BLv₀．
（2）油滴射入的速率u的范圍

gL

2v0

≤u≤

5gL

v0

．
（3）力與移動距離的比值k=

4B4L4

MR2

．

點評：本題考查了電磁感應與帶電粒子在復合場中運動的綜合，難度較大，關鍵抓住臨界情況，選擇合適的規律進行求解．