Question

如圖所示，傾角為θ的斜面A點以上部分是光滑的，A點以下部分是粗糙的，動摩擦因數為μ=2tanθ．有N個相同的小木塊沿斜面靠在一起（沒有粘接），總長為L，而每一個小木塊可以視為質點，質量均為m．現將它們由靜止釋放，釋放時下端與A點距離為2L，求：
（1）第1個木塊通過A點時的速度；
（2）第N個木塊通過A點時的速度；
（3）從第1個木塊到第N個木塊通過A點時的最大速度．

Answer 1

（1）對N個木塊由動能定理得
Nmg?2Lsinθ=

1

2

Nm

v

21

-0，
解得v1=2

gLsinθ

；
（2）木塊過A點的位移為x時，摩擦力為f=μ

N

L

xmgcosθ，
故摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
全部木塊剛過A點時速度為v，則
Nmgsinθ?3L-

1

2

μNmgcosθ?L=

1

2

Nmv2-0
解得v=

4Lgsinθ

；
（3）令有n個木塊過A點速度最大，則μnmgcosθ=Nmgsinθ
解得n=

N

2

，即一半木塊過A點速度最大，
又

1

2

Nmv2=Nmg?

5

2

Lsinθ-

1

2

×

1

2

μNmgcosθ×

1

2

L
可解vm=

4.5Lgsinθ

答：（1）第1個木塊通過A點時的速度為2

gLsinθ

；
（2）第N個木塊通過A點時的速度為

4Lgsinθ

；
（3）從第1個木塊到第N個木塊通過A點時的最大速度為

4.5Lgsinθ